10.2 Die elektrischen Feldgrößen

Raum:

Ein überall im Raum vorhandenes Feld kann durch seine messbaren physikalischen Feldgrößen F(x,y,z,t) beschrieben werden. Sie sind im allgemeinen Funktionen des Ortes und der Zeit.

→ Ein Feld ist auch dann vorhanden, wenn keine Gegenladung oder Messladung im Feld ist, mit der lediglich die Wirkung des Feldes sichtbar gemacht wird.

→ Feldgrößen stehen in Wechselwirkung miteinander. Ein Hindernis im Feld bewirkt eine Veränderung der Feldverteilung!

Größen:

Im elektrischen Feld sind folgende Feldgrößen von Bedeutung:

• Die elektrische Feldstärke E,
• das elektrisches Potential φ,
• die elektrische Flussdichte D und
• und der elektrischer Fluss Ψ ⁷.

10.2.1 Die elektrische Feldstärke

Wirkung:

Die Kraftwirkung von Ladungen aufeinander in einem Raum, wie in Abb. 10.2.1 zu sehen, wird mit der elektrischen Feldstärke beschrieben.

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Abbildung 10.2.1: Kraftwirkung im elektrischen Feld

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Definition:

Die elektrische Feldstärke in jedem Raumpunkt

ist analog zur Kraft F = QE ein Vektor, der von der positiven zur negativen Ladung gerichtet ist.

Einheit:

Die Einheit der elektrischen Feldstärke ist V/m. Wieso?

Arbeit:

Zur Bewegung einer Ladung von Punkt 1 nach 2 in einem elektrischen Feld ist eine Arbeit notwendig, die sich aus dem Produkt der auf zuwendenden Kraft entlang des Weges ergibt, integral also

→ Zur Bewegung einer positiven Ladung in Richtung der Feldlinien ist keine Arbeit notwendig (Minuszeichen!), sondern man kann die im Feld gespeicherte Energie zum Bewegen der Ladung verwenden.⁸

Beispiele:

Die elektrischen Feldbilder einer Doppelladung und eines Dipols⁹, wie in Abb. 10.2.2 zu sehen, können mit einem Java-Applet¹⁰ erzeugt werden.

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Abbildung 10.2.2: Elektrische Feldbilder einer Doppelladung (links) und eines Dipols (rechts)

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Definition:

Durch Normierung der auf zuwendenden Arbeit W auf die zu bewegende Ladung Q erhält man die Spannung

(10.2.4)

mit der Einheit Volt

(10.2.5)

Frage:

Wann ist das Skalarprodukt

(10.2.6)

→ Wenn entweder E = 0 ist oder ds = 0 oder E⊥ds ist.

Spannung:

Die elektrische Spannung u₁₂ zwischen den Raumpunkten 1 und 2 ist gleich dem Wegintegral der elektrischen Feldstärke zwischen diesen Punkten.¹¹

Eigenschaft:

Das Wegintegral der elektrischen Feldstärke zwischen den Punkten 1 und 2 wie in Abb. 10.2.3 ist wegunabhängig!

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Abbildung 10.2.3: Wegintegral im Feldstärkefeld

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→ Wäre dem nicht so, so bliebe auf einem geschlossenen Weg von 1 nach 2 und dann zurück von 2 nach 1 eine bestimmte Arbeit übrig und wir hätten ein Perpetuum Mobile¹².

10.2.2 Das elektrische Potential

Bezug:

Die Definition der Spannung erfordert zwei Punkte in einem elektrischen Feldstärkefeld.

→ Definiert man alle Spannungen in einem Feldstärkefeld gegenüber einem beliebigen, festen Referenz- oder Bezugspunkt, so spricht man von dem Potential eines Punktes (siehe Abb. 10.2.4) .

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Abbildung 10.2.4: Potential und Äquipotentialflächen

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Definition:

Der Bezugspunkt bekommt elektrotechnisch den Wert φ₀ = 0V . Aus der Definition der Spannung in Gln. 10.2.4 erhalten wir das Potential eines Punktes im Feld zu

(10.2.7)

Skalar:

Das elektrische Potential φ ist die der potenziellen Energie W einer Ladung an einem Ort zugeordnete skalare Größe.

→ Damit ist sich die Spannung zwischen zwei Punkten gleich der Differenz der Potentiale der Punkte

(10.2.8)

Eigenschaften:

• Dem Potentialfeld kann analog zur potenziellen Energie im Schwerkraftfeld (Normal-Null) ein beliebiger Bezugspunkt (meist Masse-Potential) zugeordnet werden¹³.
• Die Spannung zwischen zwei Punkten bleibt stets gleich, unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes.
• Das Potential sinkt stets in Feldrichtung. Aus dem Potential berechnet sich der elektrische Feldstärkevektor zu

  (10.2.9)

Exkurs:

Mit einem kleinen mathematischen Exkurs kann man aus der bisherigen Differentialform der Feldstärke die mathematischen Grundlagen der Maxwellschen Gleichungen in Differentialform legen.

Definitionen:

Wir definieren den Nabla-Operator zu¹⁴

(10.2.10)

Damit wird die Berechnung des Gradienten des Potentialfeldes zu einer Multiplikation des Nabla-Vektors mit einem Skalar → Skalare Multiplikation

(10.2.11)

Maxwell:

Maxwell baute seine Theorie der elektromagnetichen Wellen auf den 4 Maxwellschen Gleichungen auf, indem er zeigte, dass diese Gleichungen Lösungen besitzen, die elektromagnetiche Wellen beschreiben.

4. Gleichung:

(Gaußscher Satz, Gln. 10.2.35) Elektrische Ladungen sind Quellen und Senken des elektrischen Feldes (D = ϵE) → Skalarprodukt

(10.2.12)

2. Gleichung:

(Induktionsgesetz, Gln. 13.1.1) zeitveränderliche magnetische Felder erzeugen elektrische Wirbelfelder mit in sich geschlossenen Feldlinien → Vektorprodukt

(10.2.13)

3. Gleichung:

Es gibt keine magnetischen Quellen und Senken (sondern nur ein magnetisches Wirbelfeld)

(10.2.14)

1. Gleichung:

(Durchflutungsgesetz, Gln. 12.3.1) Zeitveränderliche elektrische Felder und stromdurchflossene Leiter (Stromdichte J) erzeugen magnetische Wirbelfelder

(10.2.15)

Fläche:

Verbindet man Punkte gleichen Potentials miteinander so erhält man Äquipontentialflächen mit Δu = ∫ E ⋅ ds = 0. Für E≠0 und ds≠0 muss dann E⊥ds gelten.

→ Feldlinien verlaufen stets senkrecht zu Äquipotentialflächen (z.B. Leiter)!

Leiter:

Da Leiter (z.B. Platten eines Kondensators) stets das selbe Potential haben, sind sie immer auch Äquipontentialflächen.

→ An einer Metallspitze herrscht eine hohe Feldstärke, sichtbar durch eine große Liniendichte,wie in Abb. 10.2.5, mit Durchschlagsgefahr!¹⁵

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Abbildung 10.2.5: Potential- und Feldlinien an einer Metallspitze

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Homogen:

Ein elektrisches Feld wird als homogen bezeichnet, wenn die Feldstärke unabhängig vom Ort überall in Betrag und Richtung gleich ist (siehe Abb. 10.2.6) .

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Abbildung 10.2.6: Homogenes elektrisches Feld im Plattenkondensator

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Spannung:

Die Berechnung der Spannung nach Gln. 10.2.8 vereinfacht sich in einem homogenen Feld, wenn der Integrationsweg parallel zum Feld gewählt wird, wesentlich zu

(10.2.16)

→ Entsprechend gilt natürlich auch für das Feld

(10.2.17)

Beispiel 10.2.1
(Kraft auf Ladungen)

Wird an die in Luft angeordneten Plattenelektroden eine konstante Spannung U angelegt, so werden die Ladungen in +Q und in −Q auf den beiden Platten getrennt.

Was passiert in Abb. 10.2.7 :

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1. Mit einer ungeladenen Metallkugel?
2. Mit einer positiv geladenen Metallkugel?
3. Variation: Masse der Kugel, Kondensator an / nicht an Quelle?

Abbildung 10.2.7: Beispiel zur Kraftwirkung zwischen Ladungen

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Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet.

10.2.3 Die elektrische Flussdichte

Materie:

Eine Kraft wirkt allgemein auf Ladungen, die sich in Leitern, Halbleitern und Nichtleitern¹⁶ im elektrischen Feld befinden. Abb. 10.2.8 zeigt die typischen Effekte aufgrund der unterschiedlichen Ladungsträgerbeweglichkeiten.

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Abbildung 10.2.8: Elektrisches Feld im Leiter und Nichtleiter

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Feldstärke:

Die Wirkung der elektrischen Feldstärke nach Gln.  10.2.1 als Folge der Ladung Q₂ auf die Messgröße Q₁ entsprechend der Coulomkraft nach Gln. 10.1.6 muss genauer lauten (Definition der Messvorschrift)

(10.2.18)

→ Die Kraft auf die Ladung Q₁ im Raum (ϵ) kommt von der Ursache Q₂.

Flussdichte:

Die elektrische Flussdichte kann als Feldgröße der Ursache angesehen werden (verursachende Feldgröße), bei der die Raumeigenschaft nicht in die Definition eingeht¹⁷

(10.2.19)

Entsprechend dem Raum-Richtungs-Einheitsvektor e_r, der immer auf der Verbindunglinie zwischen Q₁ (Wirkung) und Q₂ (Ursache) liegt, kann die Wirkung mehrerer Ladungen als vektorielle Überlagerung betrachtet werden

(10.2.20)

Einheit:

Die Einheit der (Verschiebungs-) Flussdichte ist

(10.2.21)

Interpretation:

An der Grenzfläche zwischen leitenden Plattenelektroden und dem nicht leitenden Feldraum ist der Betrag der elektrischen Flussdichte im Raum (Ladung pro Fläche) gleich dem Betrag der Ladungsdichte auf den Platten (Ladung pro Fläche)

(10.2.22)

→ Bildhaft wird die Ladungsdichte σ an der Grenzfläche mit der elektrischen Flussdichte D fortgeführt.

Materie:

Das elektrische Feld im Nichtleiter (anstelle von Vakuum) wird ebenfalls mit der elektrischen Feldstärke und der Flussdichte beschrieben, wenn anstelle von ϵ₀ die Materialeigenschaften mit der Dielektrizitätszahl ϵ über die relative Dielektrizitätszahl ϵ_r berücksichtigt werden

(10.2.23)

Spannung:

Durch Vorgabe einer Spannung U an einen Plattenkondensator

• findet eine Ladungstrennung auf den Platten statt.

Ladung:

Bei einem aufgeladenen Plattenkondensator, der von der Spannungsquelle entfernt wurde

• entsteht eine Spannung zwischen den Platten.

Diese Ursache-Wirkungs-Prinzip am Beispiel des Plattenkondensators ist in Tab. 10.1 dargestellt.

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	Kondensator mit Spannungsquelle verbunden	Kondensator von Spannungsquelle getrennt
Ursache	Spannung U = const.	Ladung Q = const.
Formeln	E = U∕d	D = Q∕A
	D = ϵE	E = D∕ϵ
	Q = DA ∼ 1∕d	U = Ed ∼ d
Wirkung	Ladung Q = f(d)	Spannung U = f(d)

Tabelle 10.1: Ursache und Wirkung des elektrischen Feldes beim Kondensator

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Genauer:

Schaut man sich den Urache-Wirkung-Zusammenhang etwas mathematischer an, so findet man

• Beim Kondensator an der Spannungsquelle gilt nach Vorgabe für die Spannung am Kondensator

  (10.2.24)

  Mit der Flussdichte

  (10.2.25)

  erhalten wir die Beziehung

  (10.2.26)

  mit der „Konstanten“

  (10.2.27)

• Beim geladenen Kondensator, der nicht mehr an der Spannungsquelle ist, erhalten wir nach Vorgabe für die Ladung auf dem Kondensator

  (10.2.28)

  Mit der Feldstärke

  (10.2.29)

  erhalten wir die Beziehung

  (10.2.30)

  mit der „Konstanten“

  (10.2.31)

Beiden Schaltungen liegt damit das selbe Gesezt Q = C ⋅U zugrunde. Die „Konstante“ C werden wir später als Kapazität des Kondensators bezeichnen¹⁸.

Influenz:

Trennt man zum Nachweis von D bzw. E in Abb. 10.2.9 die beiden Prüfplatten im elektrischen Feld und nimmt sie dann heraus, so kann man auf jeder Platte die Ladung Q_p messen.

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Abbildung 10.2.9: Influenz in der Maxwellschen Doppelplatte

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Ursache:

Die Ursache dieser influenzierten Ladungen ist die Feldstärke E, die einen Teil der freien negativen Elektronen zur Oberfläche der einen Platte verschiebt, so dass in der anderen Platte die ortsfesten positiven Kernladungen überwiegen.

Abb. 10.2.9 zeigt zusätzlich noch die „Röhre“ mit dem Querschnitt der Prüfplatten durch sich der elektrische Fluss des nächsten Kapitels anschaulich darstellen lässt.

10.2.4 Der elektrische Fluss

Definition:

Analog zur Berechnung der skalaren Größe Strom I = SA aus der Stromdichte und der durchflossenen Fläche wird das Produkt

(10.2.32)

als elektrischer Fluss (Fluss¹⁹ = Flussdichte ⋅ Fläche) definiert.

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Abbildung 10.2.10: Definition und Berechnung des elektrischen Flusses

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Bei ebenen Flächen und konstantem Fluss gilt allgemeiner entsprechend Abb. 10.2.10

(10.2.33)

Inhomogen:

Bei beliebigen Flächen in inhomogenen Feldern muss der elektrische Fluss als Summe über kleine Flächenelemente dA berechnet werden

(10.2.34)

Gauß:

Was ergibt dieses Integral über eine geschlossene Fläche, einer Hüllfläche? Der Gaußsche Satz

(10.2.35)

besagt, dass der elektrische Fluss durch eine geschlossene Fläche gleich der von dieser Fläche eingeschlossenen Ladung ist!

→ Wenn keine Ladungen eingeschlossen werden, muss das Hüllintegral Null werden²⁰.

Maxwell:

Der Gaußsche Satz wird auch als 4. Maxwellsche Gleichung bezeichnet. Er besagt, dass die Quellen und Senken des elektrischen Feldes die positiven und negativen Ladungen sind.

Influenz:

Betrachtet man den Verschiebungsfluss in Zusammenhang mit der Ladungsverschiebung (Influenz in Leitern) in den Maxwellschen Platten im elektrischen Feld des Kondensators, so kann man diesen Verschiebungsfluss Ψ mit der zugehörigen Ladung Q auf den Platten gleichsetzen

(10.2.36)

Strom:

Dann kann man aber auch einen Verschiebungsstrom i_v im Isolator definieren, der die Fortsetzung des Leitungsstromes i_k ist²¹

(10.2.37)

Frage:

Wieso hat das elektrische Feld eine Ladungsverschiebung auf den Platten verursacht, obschon die leitenden Maxwellschen Platten elektrisch isoliert²² im Feldraum angebracht waren?

Polarisation:

Das elektrische Feld bewirkt eine Verschiebung der Ladungsschwerpunkte positiver Atomkerne und negativer Elektronen wodurch kleine elektrische Dipole entstehen. Dieser Vorgang heißt dielektrische Polarisation der Nichtleiter.

→ Die Dipole vergrößern den Verschiebungsfluss. Der Steigerungsfaktor wird durch die relative Dielektrizitätszahl erfasst²³.

Dielektrika:

Dielektrika werden als Isolationswerkstoffe bei Kondensatoren (z.B. Keramikkondensator²⁴ (Böhmer, 2004, Seite 46)) eingesetzt. In in Tab. 10.2 sind einige Werkstoffe aufgeführt.

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Werkstoff	ϵr
SiO2	3,9
Glas	4…12
Keramik NDK	< 500
Keramik HDK	500…10000

Tabelle 10.2: Dielektrizitätszahl einiger Werkstoffe

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