12.3 Durchflutungsgesetz

Zusammenhang:

Das Durchflutungsgesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Strom und der von ihm erzeugten magnetischen Feldstärke wie in Abb. 12.3.1 dargestellt .15


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Abbildung 12.3.1: Durchflutungsgesetz der magnetischen Feldstärke

Bei einem geraden, unendlich langem Leiter durch den der Strom I = 1 A im Mittelpunkt eines Kreisring mit dem Umfang l = 1 m fließt ergibt sich entlang des Randes eine magnetische Feldstärke von H = 1 Am.

Durchflutung:

Für einen geschlossenen Umlauf entlang einer magnetischen Feldlinie ergibt der Durchflutungssatz16.

∮        ∫         ∑
  H⃗d ⃗s =    ⃗SdA⃗ =    In = I = Θ
                    n
         A
(12.3.1)

Bedeutung:

Das Durchflutungsgesetz17 gilt unabhängig von der umgebenden Materie.

Es dient der Berechnung der magnetischen Feldstärke bei einfachen Leitergebilden, z.B. Zylinderspule.

Wird derselbe Strom Ix n-mal umfasst (z.B. in einer Spule), so wird er n-fach berücksichtigt I = nIx.

Wirkung:

Elektrischer Strom ist von geschlossenen magnetischen Feldlinien (Wirbelfeld) umgeben.

Umkehrung: Geschlossene magnetische Feldlinien werden von einem Strom durchflossen (oder durchflutet, Durchflutungsgesetz).

Analogie:

Es besteht eine Analogie zum elektrischen Feld:

  1. Der Ursache des elektrischen Feldes E entspricht der Vektor der magnetischen Feldstärke H.
  2. Der Wirkungsgröße elektrische Flussdichte D im Nichtleiter und Stromdichte S im Leiter entspricht der Vektor der magnetischen Flussdichte B als Wirkung des Magnetfeldes.
  3. Den Materialverknüpfungen ϵ
    ⃗D = ϵE⃗

    bzw. κ entspricht die Verknüpfung von B und H über die magnetischen Materialeigenschaften μ in jedem Raumpunkt

    B⃗ = μH⃗

Beispiel 12.3.1
(Zylinderspule)

Bei einer Zylinderspule (siehe Abb. 12.3.2) kann davon ausgegangen werden, dass im Inneren der Spule durch Überlagerung der Einzelfelder18 eines jeden Leiters ein annähernd homogenes Feld Hi entsteht. Außerhalb der Spule ist das Feld Ha sehr schwach und kann dort vernachlässigt werden.


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Abbildung 12.3.2: Beispiel zur magnetischen Feldstärke in einer Zylinderspule

Berechnen Sie für eine Zylinderspule in Luft der Länge l = 10 cm mit N = 100 Windungen den Betrag der magnetischen Feldstärke Hi für einen Strom I = 1 A.

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:

Magnetischen Feldstärke

H   =   N-I-
  i      l
        100 ⋅ 1 A        A
    =   --0,1m---=  1000 m-
                    --------

Beispiel 12.3.2
(Kreisringspule)

Gegeben sei eine Kreisringspule (siehe Abb. 12.3.3) mit den Daten: Luftspaltlänge lL = 1 mm, Eisenlänge lE = 10 cm, relative Permeabilität in Eisen μr = 1000, Querschnittsfläche des Eisens A = 10 cm2, Windungszahl N = 100.


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Abbildung 12.3.3: Beispiel zum magnetischen Fluss in einer Kreisringspule

Berechnen Sie bei der dargestellten Kreisringspule den magnetischen Fluss Φ = BA für einen Strom I = 1 A.

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:

Magnetischer Fluss

                   N I           N I ⋅ A  ⋅ μ
Φ  =   BEAE  =  -l----l-- ⋅ AE = -------El---0
                μl0 + μ0Eμr           ll + μEr
       100 ⋅ 1A ⋅ 10cm2 ⋅ 4π ⋅ 10−7 V s∕(A m )
   =   -------------------------------------
                 0,1cm  + 0,01cm
   =   0,114-⋅ 10-−3V-s
       ---------------

15Genauer muss es heißen:  und der magnetischen Spannung V m = Hds entsprechend Gln. 12.5.4, wobei diese Spannung aber erst später eingeführt wird.

16Bemerkung: Falls die Summe der Ströme Null ist ergibt sich auch kein magnetisches Feld. Anwendung: FI-Schutzschalter.

17auch Amperesches Gesetz und 1. Maxwellsche Gleichung genannt

18Superposition, analog zum E-Feld im Kondensator