Der Kondensator

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10.3 Der Kondensator

Frage:

Was ist ein Kondensator?

Antwort:

Ein Energiespeicher!

Abbildung 10.3.1: Verschiedene Kondensatoren

Bauelement:

Als Kondensator wird das Bauelement aus zwei leitenden Elektroden²⁵ bezeichnet, die durch ein Dielektrikum²⁶ getrennt sind. In Gleichstromkreisen bilden Kondensatoren eine Unterbrechung für den Strom. Warum, sollte man immer, nicht nur zur Prüfung wissen! Abb. 10.3.2 zeigt rechts zusätzlich das Schaltzeichen eines Kondensators. Die nicht miteinander verbundenen parallelen Striche verdeutlichen anschaulich, dass ein Gleichstrom im eingeschwungenen Zustand nicht über einen Kondensator fließen kann!

Abbildung 10.3.2: Kondensatorprinzip und Plattenkondensator bei homogenem elektrischen Feld

Kapazität:

Das Verhältnis zwischen der Ladung auf den Kondensatorplatten und der Spannung zwischen ihnen wird als Kapazität definiert

∮ ⃗ ⃗ ∮ ⃗ ⃗ Q ADd A ϵAEd A C = -- = B------= -B------ u ∫ ⃗Ed ⃗s ∫E⃗d ⃗s A A

(10.3.1)

Einheit:

Die Einheit der Kapazität ist das Farad²⁷

[Q-] C- A-s -s [C] = [U ] = V = V = Ω = F

→ Ein Kondensator hat die Kapazität 1 F, wenn er bei einer Spannung 1 V die Ladung 1 C speichert. Die Einheit Farad ist für technische Kondensatoren zu groß — typische Kapazitäten liegen im Bereich von pF …mF (10^-12 …10^-3 F) wie in Tab. 10.3 aufgeführt.

Kondensator	Kapazität

Speicherzelle eines 256 MBit-Speichers	20 fF
Metallkugel mit r = 1 cm in Luft gegen eine ebene Elektrode im Abstand 1 m	1 pF
Erde gegen Weltall	700 µF
Fotoblitzkondensator	1000 µF
Stabilisierungskondensator Autobatterie	1 F

Tabelle 10.3: Größenvorstellungen von Kapazitätswerten

Energie:

Der Kondensator ist ein Energiespeicher. Er speichert Ladungen auf den Kondensatorplatten.

Fragen:

Noch offene Fragen sind:

Wie gelangen Ladungen auf die Kondensatorplatten?
Welcher Strom fließt?
Wie verhält sich das Dielektrikum²⁸ bei Stromfluss?

Antwort:

Da in einem Nichtleiter zwischen den Kondensatorplatten keine freien Ladungsträger sind, kann die Änderung der gespeicherten Ladung nur über die Zuleitungen als (Konvektions-) Strom erfolgen

i = i = dQ- = d(CuC-)- k dt dt duC dC = C|C=const.---- + uC |uC=const.-- (10.3.2) ◟----◝◜---dt◞ ◟-----◝◜----dt◞ Bauelementegleichung KapazitiverSensor

Bauelement:

Für das Bauelement Kondensator, bei dem die Kapazität zeitlich konstant ist, vereinfacht sich Gln. 10.3.2 zur Bauelementegleichung des Kondensators²⁹

du i = ik = C --C- dt

(10.3.3)

→ Ein Strom fließt über die Zuleitungen des Kondensators nur solange wie sich seine Klemmenspannung zeitlich ändert! Dementsprechend stellt ein Kondensator für Gleichspannung eine Unterbrechung dar.

Dielektrikum:

Experimentell lässt sich nachweisen, dass während einer Ladungsänderung auch im Dielektrikum ein Magnetfeld existiert. Da umgekehrt ein Strom von einem Magnetfeld umgeben ist, lässt sich daraus schließen, dass durch das Dielektrikum ein „Strom fließt“, der nicht durch einen Ladungsträgertransport erzeugt wird. Er wird dielektrischer oder Verschiebungsstrom genannt³⁰.

Strom:

Fassen wir den Verschiebungsstrom i_v im Nichtleiter als Fortsetzung des Konvektionsstromes in den Zuleitungen auf, so ergibt sich die Stromkontinuität zu

|| i | = dQ-|| = i| vNichtleiter dt| k Leiter Platte

(10.3.4)

Spannung:

Ist der Strom gegeben mit dem sich die Ladung auf dem Kondensator ändert, so wird seine Spannung aus Gln. 10.3.3 mit

du = 1-idt C

(10.3.5)

entsprechend nach der Integration von

u∫(t) ∫t du = 1- idt C u(t0) t0

(10.3.6)

∫t u (t) = u(t0) + 1- idt = u(t0) + 1-[Q(t) − Q(t0)] C C t0

(10.3.7)

Aussagen:

Es lassen sich folgende Aussagen festhalten:

Die Speicherwirkung des Kondensators zeigt sich darin, dass die Kondensatorspannung u von einer Anfangsspannung u(t₀) abhängt, dem so genannten Anfangswert.
Wird ein auf die Spannung u geladener Kondensator plötzlich kurzgeschlossen, so fließt anfangs ein sehr hoher Strom, da die Ladungsänderung gleich dem Zeitintegral des Stromes ist. Große Kondensatoren sollten daher nur kurzgeschlossen transportiert werden.
Ein Spannungssprung am Kondensator ist nicht möglich, da sich die Ladung (und damit die Spannung) nur stetig ändern kann. Ein Stromstoß hingegen ist möglich und zudem u.U. sehr gefährlich!

Energie:

Der Kondensator ist ein Energiespeicher. Wir wissen jetzt, wie die Ladung auf den Kondensator kommt.

→ Nächste Frage: Welche Energie hat er gespeichert, wenn er auf die Spannung U aufgeladen ist?

Antwort:

Während des Aufladens sind sowohl der Ladestrom als auch die Spannung am Kondensator eine Funktion der Zeit. In einer infinitesimal kleinen Zeit gilt für die Leistung die bekannte Beziehung p = ui. Der Kondensatorstrom kann durch Gln. 10.3.3 ersetzt werden und wir erhalten die aufgenommene Energie zu

du- dW = uidt = uC dtdt = Cudu

(10.3.8)

Die gespeicherte Energie nach Abschluss des Ladevorgangs erhalten wir durch Integration über die Kondensatorspannung von u = 0 bis u = U

∫U 1 2 1 1 Q2 W = C udu = -CU = -QU = ----- 0 2 2 2 C

(10.3.9)

10.3.1 Bauformen von Kondensatoren

Anwendung:

Die Kapazitätsberechnung nach Gln. 10.3.1 eignet sich besonders für symmetrische Felder, wie sie in Platten-, Kugel-, und Zylinderkondensatoren auftreten.

Platten:

Für den Plattenkondensator mit einem homogenen Feld senkrecht zu den Platten und einem parallel zum Feld verlaufendem Integrationsweg vereinfacht sich Gln. 10.3.1 zu³¹

∮ ∮ D⃗d A⃗ ϵ ⃗EdA⃗ C = Q- = A------= -A------= ϵEA--= ϵA- u B∫ ⃗Ed ⃗s B∫E⃗d ⃗s Ed d A A

(10.3.10)

→ Ein Dielektrikum erhöht immer die Kapazität eines Kondensators um das ϵ_r-fache der relativen Dielektrizitätskonstanten.

Frage:

Wie ändern sich die Spannung und die Ladung eines Kondensators, wenn ein Dielektrikum eingeführt wird?

Antwort:

Bei der Antwort musss entsprechend den Ausführungen zu Tab. 10.1 unterschieden werden:

Durch das Dielektrikum erhöht sich die Kapazität des Kondensators: C ↑
Bei fester Spannung erhöht sich die Ladung auf den Platten da der Quotient aus Q und C konstant bleibt wegen
$Q Q ↑ U = const.= --= ---- C C ↑$ (10.3.11)

Bei fester Ladung sinkt die Spannung an den Platten da das Produkt aus C und U konstant bleibt wegen

Q = const.= C ⋅ U = C ↑ U ↓

(10.3.12)

Beispiel 10.3.1 (Koaxleitung)

Wie groß ist die längenbezogene Kapazität eines Koaxialkabels in Abb. 10.3.3 mit den Maßen r_i = 0,5 mm, r_a = 5 mm und einem Dielektrikum zwischen Innen- und Außenleiter mit ϵ_r = 2?

Abbildung 10.3.3: Beispiel zur Kapazitätesberechnung einer Koaxialleitung

Löösunsgweg:

Gaußcher Satz Gln. 10.2.35: Q = f(E)
Umstellen nach E = f(r)
Integration mit u = ∫ Edr
Einsetzen in C = Q∕u

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:

Gesuchte Kapazität

C- = Q- ⋅ 1-= Q- ⋅---2ϵπl----= --2-ϵπ---- l l u l Q ln(ra∕ri) ln(ra∕ri) 2 ⋅ (2 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12F ∕m ⋅ π pF = --------------------------= 48,3--- ln (5 ∕0,5) -----m--

Beispiel 10.3.2 (Kugelkondensator): Wie groß ist die Kapazität eines Kugelkondensators in Abb. 10.3.4 mit den Maßen r_i = 0,5 mm, r_a = 5 mm und einem Dielektrikum zwischen Innen- und Außenleiter mit der relativen Dielektrizitätszahl ϵ_r = 2?

Abbildung 10.3.4: Beispiel zur Kapazitätesberechnung eines Kugelkondensators

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:

Gesuchte Kapazität

Q 4 ϵπr r C = -- = -----ia u ra − ri 4-⋅ (2 ⋅-8,85-⋅ 10−-12F∕m-)-⋅ π-⋅ 0,005m-⋅ 0,0005m = 0,005 m − 0,0005 m = 123,6-fF

Beispiel 10.3.3 (Doppelleitung)

Wie groß ist die Kapazität der Doppelleitung³² in Abb. 10.3.5 mit dem Leiterradius r₀ = 0,8 mm, im Abstand d = 60 cm bei einer Länge von l = 500 m?

Abbildung 10.3.5: Beispiel zur Kapazitätesberechnung einer Doppelleitung

→ Gesucht ist die Kapazität in allgemeiner Form unter der Annahme l ≫ d ≫ r₀.

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:

Gesuchte Kapazität

Q ϵ0πl ϵ0πl C = u-= --d−r0-≈ --d-- ln r0 ln r0 8,85-⋅ 10−-12F∕m-⋅ π-⋅ 500-m = ln 600mm- = 2,1nF- 0,8 mm

Beispiele:

Einige Auswertungen für symmetrische Felder ergeben die in Tab. 10.4 aufgeführten Bemessungsgleichungen.

Bezeichnung	Bauform	Kapazität

Plattenkondensator		C =

Zylinderkondensator		C =

Kugelkondensator		C =

Doppelleitung		C =

Tabelle 10.4: Bemessungsgleichungen verschiedener Kondensatoren

10.3.2 Reihenschaltung von Kondensatoren

Frage:

Wie groß ist der Ersatzkondensator C_r in Abb. 10.3.6 , den man anstelle der drei Kondensatoren C₁, C₂ und C₃ verwenden kann?

Abbildung 10.3.6: Reihenschaltung von Kondensatoren

Konstant:

Jeder Kondensator in der Reihenschaltung muss die gleiche Ladung

Q = Q1 = Q2 = Q3

(10.3.13)

enthalten.

Spannung:

Für die Spannungen erhalten wir mit der Maschenregel

U = U + U + U 1 2 3

(10.3.14)

Kapazität:

Nach Gln. 10.3.1 kann mit U = Q∕C für jeden der Kondensatoren in Abb. 10.3.6 die Spannung ersetzt werden

-Q- Q1- Q2- Q3- C = C + C + C r 1 2 3

(10.3.15)

Da alle Ladungen gleich waren erhalten wir in allgemeiner Form die Ersatzkapazität einer Reihenschaltung von n Kondensatoren zu

1--= ∑ 1-- Cr n Cn

(10.3.16)

→ In einer Reihenschaltung von Kondensatoren ist die Ersatzkapazität stets kleiner als die kleinste Teilkapazität.

Überprüfung:

Für die Reihenschaltung der Kondensatoren C₁ mit Abstand d₁ und C₂ mit d₂ mit gleicher Fläche A und gleichen ϵ_r

-1- -1- d1- d2- d1 +-d2 d3- -1- C1 + C2 = ϵA + ϵA = ϵA = ϵA = C3

(10.3.17)

erhalten wir den Ersatzkondensator C₃ mit Abstand d₃ = d₁ + d₂.

10.3.3 Parallelschaltung von Kondensatoren

Frage:

Wie groß ist der Ersatzkondensator C_pin Abb. 10.3.6 , den man anstelle der drei Kondensatoren C₁, C₂ und C₃ verwenden kann?

Abbildung 10.3.7: Parallelschaltung von Kondensatoren

Konstant:

Jeder Kondensator in der Parallelschaltung liegt an der gleichen Spannung

U = U1 = U2 = U3

(10.3.18)

Ladung:

Die Gesamtladung erhalten wir durch Addition zu

Q = Q1 + Q2 + Q3

(10.3.19)

Kapazität:

Nach Gln. 10.3.1 kann mit Q = CU für jeden der Kondensatoren in Abb. 10.3.6 die Ladung ersetzt werden

CpU = C1U1 + C2U2 + C3U3

(10.3.20)

Da alle Spannungen gleich waren erhalten wir in allgemeiner Form die Ersatzkapazität einer Parallelschaltung von n Kondensatoren zu

∑ Cp = Cn n

(10.3.21)

→ In einer Parallelschaltung von Kondensatoren ist die Ersatzkapazität stets größer als die größte Teilkapazität.

Überprüfung:

Für die Parallelschaltung der Kondensatoren C₁ mit Fläche A₁ und C₂ mit A₂ mit gleichem Abstand d und gleichen ϵ_r

ϵA1 ϵA2 ϵ(A1 + A2 ) ϵA3 C1 + C2 = ---- + ----= ----------- = ----= C3 d d d d

(10.3.22)

erhalten wir den Ersatzkondensator C₃ mit Fläche A₃ = A₁ + A₂.

Beispiel 10.3.4 (RC-Netzwerk): Wie groß ist der Strom durch den Widerstand R₃ = 1 Ω, wenn das Netzwerk in Abb. 10.3.8 mit R₁ = R₂ = 1 Ω und C₁ = C₂ = C₃ = 1 F mit einer Gleichspannungsquelle U = 1 V betrieben wird?

Abbildung 10.3.8: Beispiel zur Netzwerkberechnung mit Kondensatoren

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:

Gesuchter Strom

I(R3) = 0

Beispiel 10.3.5 (Reihe oder Parallel)

In Schalterstellung 0 in Abb. 10.3.9 waren die Kondensatoren C₁ = 10 µF und C₂ = 20 µF auf die Spannungen U₁ = 3 V und U₂ = 0 V geladen. Nachdem in Stellung 1 beide Kondensatoren an die Gleichspannungsquelle mit U = 9 V geschaltet wurden, wird der Schalter nach Abschluss der Ladevorgänge in Stellung 2 gebracht.

Verständnisfrage:
Werden die beiden Kondensatoren in Schalterstellung 2 entladen?

Abbildung 10.3.9: Beispiel zur Umladung von Kondensatoren

Sind die Kondensatoren in Schalterstellung 2 in Reihe oder parallel geschaltet?
Wie groß sind entsprechend der Schaltungsart die Spannungen U₁ und U₂ an den Kondensatoren wenn in Schalterstellung 2 alle Ladungsänderungen abgeschlossen sind?

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:

Gesuchte Spannungen

′′ ′′ U ′′= − U ′′= U′′ = Q12-= --Q-12--- 1 2 12 C12 C1 + C2 30µC = --------------= 1-V- 10µF + 20µF

10.3.4 Nichtlineare Kapazitäten

Linearität:

Bisher wurde eine Linearität

Q ∼ u → Q = Cu

(10.3.23)

angenommen, in der die Kapazität C der entsprechende Proportionalitätsfaktor ist. Im allgemeinen Fall kann aber auch eine nichtlineare Q-u-Beziehung mit C = f(u) bestehen, z.B. bei einem pn-Übergang wie in Abb. 10.3.10 dargestellt.

Abbildung 10.3.10: Nichtlineare Sperrschichkapazität einer Varactordiode

Arbeitspunkt:

Mathematisch gilt dann statt Gln. 10.3.3

du i = C --- dt

bei zeitunabhängiger aber spannungsabhängiger Kapazität c_d = f(u) allgemeiner wieder Gln. 10.3.2

i = dQ- = ∂Q--⋅du-= c ⋅ du dt ◟∂◝u◜◞ dt d dt cd

(10.3.24)

mit der differentiellen Kapazität c_d im Arbeitspunkt wieder eine stückweise lineare Beziehung.

Allgemein:

Nehmen wir nun zur Spannungs- auch die Zeitabhängigkeit der Kapazität hinzu mit C = f(u,t), so erhalten wir deren Änderung mit zwei Anteilen zu

∂C ∂C dC = ----⋅ du +----⋅ dt ∂u ∂t

(10.3.25)

Setzen wir diese Gleichung in Gln. 10.3.2

d(Cu ) du dC i = ------ = C ---+ u --- dt dt dt

ein, so erhalten wir 3 Anteile

( ) dQ- du- ∂C-- ∂C-- 1- i = dt = C dt + u ∂u ⋅ du + ∂t ⋅ dt dt ◟--------◝◜--------◞ ( ) dC || ∂C || du ∂C = |(◟C◝◜◞+u ---|) ---+ u ---- (10.3.26) (1) ◟∂◝u◜◞ dt ◟∂◝t◜◞ (2) (3)

→ Der 1. Anteil entspricht der linearen Kapazität, der 2. Anteil der differentiellen und der 3. Anteil der Kapazitätsänderung durch Geometrie- der Materialänderungen.

Nichtlineare Kapazitäten sind wichtige Netzwerkelemente zur Modellierung des dynamischen Verhaltens von Halbleiterbauelementen (Dioden, Transistoren, Varicaps). Sie sind Gegenstand anderer Vorlesungen und werden hier nicht weiter betrachtet.

²⁵Metall aber auch Halbleiter

²⁶Isolator: Luft, Glas, SiO₂, Keramik, …

²⁷Zu Ehren von Michael Faraday, 1791 – 1867, Entwickelte die Theorie vom elektrischen Feld, Faraday Käfig

²⁸Was ist überhaupt ein Dielektrikum? Antwort: Ein Nichtleiter ohne freie Ladungsträger!

²⁹vergleiche GdE 1

³⁰Es werden aber keine Ladungen im Nichtleiter verschoben, sondern nur deren Schwerpunkte auseinander gezogen, so dass kleine Dipole entstehen.

³¹Dabei setzen wir voraus, dass sich das elektrische Feld praktisch nur zwischen den Platten ausbreitet wodurch sich die von der elektrischen Flussdichte durchströmte Hüllfläche auf die Plattenoberfläche reduziert.

³²Eine DL ist noch keine TP (Twisted Pair, mehrere parallel in einer Telefonleitung), bei der eine Längsverdrehung erfolgt, um die kapazitive Kopplung zwischen verschiedenen Stromkreisen zu minimieren.

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