Laplace-Transformation

Prinzip:

Die Berechnung von Wechselstromnetzen bei sinusförmiger Erregung wird mit der komplexen Rechnung erleichtert.

→ Transformation von Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen (siehe Abb. 19.9.1) .

Abbildung 19.9.1: Prinzip der Transformation

Problem:

Ströme und Spannungen bei Schaltvorgängen sind keine sinusförmigen Wechselgrößen.

Laplace:

Die Lösung von Ausgleichsvorgängen mit Differentialgleichungen kann mit Hilfe der Laplace-Transformation ebenso vereinfacht werden wie die Berechnung von Netzwerken mit der komplexen Rechnung.

→ Transformation von Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen in algebraische Gleichungen (siehe Abb. 19.9.2) .

Abbildung 19.9.2: Prinzip der Laplace-Transformation

→ Die Zeitfunktionen sind erst ab t = 0 von Interesse!

Transformation:

Die Transformationsgleichung der Laplace-Transformation einer Zeitfunktion ist das uneigentliche Integral

∞ ∫ −s⋅t ℒ {f(t)} = f (t) ⋅ e dt = F (s) +0

(19.9.1)

mit der komplexen Frequenz

s = σ + jω

(19.9.2)

Die Einheit von s ergibt sich aus dem Argument der Exponentialfunktion zu „Hertz“

1-- 1- [s] = [t] = s

Erweiterung:

Zur Transformation von Differentialgleichungen muss die Laplace-Transformation der Ableitung einer Zeitfunktion berechenbar sein.

→ Damit sich wie behauptet algebraische Gleichungen ergeben, muss die Differentiation im Zeitbereich einer Multiplikation mit dem Operator im Bildbereich entsprechen.

Stetig:

In elektrischen Ausgleichsvorgängen sind Spannung am Kondensator und der Strom durch die Spule stetige Zeitfunktionen, deren Laplace-Transformation der 1. Ableitung mit Hilfe der partiellen Integration bestimmt werden kann

∫∞ F (s) = f(t) ⋅ e− s⋅tdt 0 −s⋅t||∞ ∞∫ = − f(t) ⋅ e--|| + 1- f′(t) ⋅ e−s⋅t dt (19.9.3) s |0 s 0

Die Integration liefert den Anfangswert der Zeitfunktion

|∞ f-(t)-⋅ e−s⋅t|| f(∞-) ⋅-e−∞-−-f-(0) ⋅ e0 f(0)- − s || = − s = s 0

(19.9.4)

Ergebnis:

Die Laplace-Transformierte einer Funktion f(t) wird damit mit der Produktintegration zu

1 1 1 F (s ) = -f(0) + --ℒ{f ′(t)} = -[f(0) + ℒ {f′(t)}] s s s

(19.9.5)

Damit kann die Laplace-Transformierte der Ableitung einer Funktion f′(t) durch Multiplikation mit s und Subtraktion des Anfangswertes der Zeitfunktion f(t = 0) gebildet werden, wenn die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion f(t) bekannt ist

ℒ{f ′(t)} = s ⋅ F(s) − f(0)

(19.9.6)

→ Die Laplace-Transformierte der 2. Ableitung einer Funktion f′′(t) lässt sich entsprechend iterativ auf die die Laplace-Transformierte der 1. Ableitung zurückführen

′′ ′ ′ ℒ{f (t)} = s ⋅ ℒ{f (t)} − f (0) = s2 ⋅ F (s) − s ⋅ f (0) − f ′(0) (19.9.7)

Analog:

Bei der Aufstellung von DGLs mit der Maschen- oder Knotenpotentialanalyse ergeben sich integrale Zusammenhänge für Kondensatorspannungen und Spulenströme.

→ Analog zur Bestimmung der Laplace-Transformierten der Ableitung einer Funktion kann die Laplace-Transformierte des Integrals einer Funktion wieder mit partieller Integration ermittelt werden

∫∞ ∞∫ F (s) = f(t) ⋅ e−s⋅tdt = e−s⋅t ⋅ f(t)dt 0 0

(19.9.8)

mit den beiden Funktionen der Produktintegration

−s⋅t u(t) = e ′ dv- v (t) = dt = f(t) du u′(t) = --- = − s ⋅ e− s⋅t ∫dt v(t) = f (t) dt

Ergebnis:

Unter Auslassen der mathematischen Zwischenschritte ergibt sich als Ergebnis

∫t ℒ { f (τ )dτ} = 1F (s) 0 s

(19.9.9)

→ Die Bildfunktion F(s) wird durch s dividiert.

→ Die fehlenden Zwischenschritte werden vielleicht in der Mathematik gegeben …bestimmt aber, wenn an passender Stelle nachgefragt wird!

Praxis:

Die Berechnung von komplizierten Ausgleichsvorgängen wäre sehr aufwendig, wenn bei jeder Transformation das Laplace-Integral gelöst werden müsste

→ Es existieren Korrespondenz-Tabellen mir Zeitfunktionen und deren Transformierter (Weißgerber, 2000, Seite 86-91), die sowohl zur Hin- als auch zur Rücktransformation verwendet werden können.

Mathematisch:

Die Rücktransformation bedeutet die Lösung des Integrals

−1 1 σ+∫j∞ s⋅t f(t) = ℒ {F (s)} = ---- F (s) ⋅ e ds 2πj σ−j∞

(19.9.10)

→ Dass dieses Umkehrintegral von der Bildfunktion F(s) zu der Zeitfunktion f(t) führt, wurde mit der Fourierreihe und der Fourier-Transformation hergeleitet.

Sätze:

Für die Praxis kann die Berechnung des Laplace-Integrals durch die Anwendung folgender Sätze (ohne mathematische Herleitung) oft vereinfacht werden:

Lineare Überlagerung
$ℒ {a1 ⋅ f1(t) + a2 ⋅ f2(t)} = a1 ⋅ F1(s) + a2 ⋅ F2(s)$ (19.9.11)

Zeit-Verschiebungssatz

−st ℒ {f(t − t0)} = e 0 ⋅ F (s)

(19.9.12)

Frequenz-Verschiebungssatz → Dämpfungssatz im Zeitbereich
$F (s + a ) = ℒ {e−at ⋅ f(t)}$ (19.9.13)
Ähnlichkeitssatz
$( ) ℒ{f (a ⋅ t)} = 1-⋅ F s a a$ (19.9.14)
Faltungssatz
$ℒ {f1(t) ∗ f2(t)} = F1 (s) ⋅ F2 (s)$ (19.9.15)
Differenzieren der Bildfunktion
$F ′(s) = ℒ {− t ⋅ f (t)}$ (19.9.16)

Integrieren der Bildfunktion

∞∫ { } 1- F (u)du = ℒ tf(t) s

(19.9.17)

Anfangswertsatz
$f(0) = ltim→0f (t) = sli→m∞ s ⋅ F (s)$ (19.9.18)
Endwertsatz
$f (∞ ) = lt→im∞ f(t) = lis→m0 s ⋅ F (s)$ (19.9.19)

Gleichspannung:

Die Transformation einer Gleichspannung

u(t) = U

(19.9.20)

ergibt formal die Laplace-Transformierte

∞ ∫ −st U (s) = ℒ{U } = U e dt 0

(19.9.21)

und mit der Integration

U (s ) = U ⋅ 1--⋅ [e−st]∞ − s 0 U = − --⋅ [0 − 1] s

das Ergebnis

U ℒ {U} = -- s

(19.9.22)

Sinus:

Die Transformation einer sinusförmigen Wechselspannung

{ u(t) = ˆusin ωt , t > 0 0 , t ≤ 0

(19.9.23)

ergibt formal die Laplace-Transformierte

∞∫ −st U (s) = ℒ{uˆsinωt} = ˆu sin ωt ⋅ e dt 0

(19.9.24)

Mit dem Integral 322 (Weißgerber, 2000, Seite 462)

∫ ax eaxsin bx dx = --e---- ⋅ [a ⋅ sin bx − b ⋅ cos bx ] a2 + b2

kann mit a = −s und b = ω die Integration durchgeführt werden

U (s) = ---ˆu----⋅ [e−st ⋅ (− s ⋅ sin ωt − ω ⋅ cosωt )]∞0 s2 + ω2 ---ˆu---- = s2 + ω2 ⋅ [0 − 1 ⋅ (− s ⋅ sin 0 − ω ⋅ cos0 )]

mit dem Ergebnis

ℒ {ˆu sin ωt} = ˆu ⋅---ω---- s2 + ω2

(19.9.25)

Kosinus:

Die Laplace-Transformierte einer kosinusförmigen Wechselspannung ergibt analog

---s---- ℒ {ˆucos ωt} = ˆu ⋅s2 + ω2

(19.9.26)

Phase:

Die Transformation einer sinusförmigen Wechselspannung mit Anfangsphase

{ ˆusin(ωt + φu) , t > 0 u(t) = 0 , t ≤ 0

(19.9.27)

ergibt formal die Laplace-Transformierte

U (s ) = ℒ {ˆu sin (ωt + φu )}

(19.9.28)

Mit der trigonometrischen Beziehung

sin(ωt + φu ) = sin φu ⋅ cosωt + cos φu ⋅ sin ωt

und dem Additionssatz wird daraus

s ⋅ sin φu + ω ⋅ cos φu ℒ {ˆu sin(ωt + φu )} = ˆu ⋅-------s2 +-ω2-------

(19.9.29)

Schaltung:

Als Beispiel wird die bereits bekannte Schaltung mit einer Spule verwendet, bei der eine Wechselspannung entsprechend Abb. 19.9.3 geschaltet wird.

Abbildung 19.9.3: Anwendung der Laplace-Transformation

Nach Gln. 19.5.9 war die DGL

diL- Resb ⋅ iL + Lesb ⋅ dt = ˆusin(ωt + φu )

mit dem Ersatzwiderstand und der Ersatzinduktivität

( ) Resb = R1 + R1-RL + RL und Lesb = L ⋅ R1-+ 1 R2 R2

Spannung:

Die Laplace-Transformierte der Eingangsspannung ist mit Gln. 19.9.29

sinφ ⋅ s + cos φ ⋅ ω ℒ {ˆu sin(ωt + φu )} = ˆu ⋅-----u----------u---- s2 + ω2

Gleichung:

sinφu-⋅-s +-cos-φu-⋅ ω ResbIL(s) + Lesb ⋅ [sIL(s) − iL(0)] = ˆu ⋅ s2 + ω2

(19.9.30)

mit der Anfangsbedingung i_L(0) = 0

Strom:

Die Laplace-Transformierte des Spulenstromes wird damit

ˆu sinφu ⋅ s + cos φu ⋅ ω IL(s) = R----+-sL--- ⋅-------s2 +-ω2------- esb esb

(19.9.31)

Zurück:

Mit der Rücktransformation 101 (Weißgerber, 2000, Seite 91)

{ } ∘ ---------- −1 -----s-+-d------ -d-−-b- −bt -d2-+-a2- ℒ (s2 + a2)(s + b) = a2 + b2 ⋅ e + a2b2 + a4 ⋅ sin (at + Φ )

mit

b- d- Φ = arctan a − arctan a

kann der Spulenstrom im Zeitbereich bestimmt werden

({ cosφu- )} iL(t) = ℒ −1 ˆu-sin-φu-⋅----s-+-sinφ(u-⋅ ω--)- ( Lesb (s2 + ω2) s + Resb- ) Lesb

(19.9.32)

Der Vergleich mit der Korrespondenz ergibt

cosφ R 1 d = -----u ⋅ ω = cot φu ⋅ ω , a = ω und b = --esb = -- sinφu Lesb τ

Ergebnis:

Wir erhalten direkt das Ergebnis zu

⌊ cosφu Resb ˆu-sin-φu- | sin-φu ⋅-ω −-Lesb − t∕τ iL(t) = Lesb ⋅⌈ ω2 + R2esb ⋅ e L2esb ⌋ ┌│ --cosφu----2-----2 + ││ (sinφu-⋅ ω-)-+-ω-⋅ sin(ωt + Φ )|⌉ (19.9.33) ∘ ω2 R2esb-+ ω4 L2esb

→ Hier sind wir eigentlich schon fertig! Der Beweis der Gleichheit erfordert einige kleinere mathematische Umformungen, die zur Vorbereitung einer mathematischen Klausur hilfreich sein können …

Sonderfall:

Bei vielen Ausgleichsvorgängen sind die Zustandsgrößen, die Ströme durch Spulen und die Spannungen an Kondensatoren bis zum Zeitpunkt des Schaltens Null.

→ Die Anfangsbedingungen verschwinden und die Laplace-Transformierte der Ableitungen vereinfachen sich.

Operatoren:

Es ergeben sich damit Zusammenhänge mit reellen und komplexen Operatoren zwischen den Laplace-Transformierten der Spannungen und der Ströme an Bauelementen (siehe Tab. 19.2) .

	Widerstand	Spule	Kondensator

Zeitbereich	u(t) = Ri(t)	u(t) = L	u(t) = ∫ idt
(Original)	i(t) = u(t)	i(t) = ∫ udt	i(t) = C

Bildbereich	U(s) = RI(s)	U(s) = sL ⋅ I(s)	U(s) = ⋅ I(s)
(Transf.)	I(s) = U(s)	I(s) = ⋅ U(s)	I(s) = sC ⋅ U(s)

Tabelle 19.2: Laplace-Operatoren der Bauelemente

Übersicht:

Als Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen bieten sich damit 3 Verfahren an, die in Abb. 19.9.4 dargestellt sind.

Abbildung 19.9.4: Lösungsmethoden bei Ausgleichsvorgängen

Spezialfall:

Sind bei Ausgleichsvorgängen die Zustandsgrößen Spulenstrom und Kondensatorspannung vor dem Zeitpunkt des Schaltens nicht Null, so können die Laplace-Operatoren aus Tab.19.2 nicht verwendet werden.

Kirchhoff:

Die Kirchhoffschen Gleichungen gelten analog zur Wechselstromlehre im Laplace-Bildbereich mit der Maschengleichung

∑ U-(s) = 0 Masche

(19.9.34)

und der Knotengleichung

∑ I(s) = 0 Knoten

(19.9.35)

→ Speichernde Bauelemente aus einem ungeladenen Bauelement und einer aktiven Quelle zusammensetzen.

ESB:

Die Anfangsbedingungen werden als zusätzliche Strom- und Spannungsquellen in das Ersatzschaltbild mit komplexen Operatoren eingeführt entsprechend Abb. 19.9.5 .

Abbildung 19.9.5: Anfangswerte bei der Laplace-Transformation

Operatoren:

Wir erhalten damit die Laplace-Transformierten der Spannungen und der Ströme an den Bauelementen (siehe Tab. 19.2) .

Bauteil	Spannung	Strom

Widerstrand	U_R = RI_R	I_R =
Spule	U_L = sI_L − L ⋅ i_L(0₊)	I_L = ⋅ U_L +
Kondensator	U_C = ⋅ I_C +	I_C = C(sU_C − u_C(0₊))

Tabelle 19.3: Laplace-Operatoren mit Anfangswerten der Bauelemente

Bemerkung:

Hat man den Strom durch einen Kondensator im Bildbereich berechnet, so kann die Spannung über dem Kondensator mit dem komplexen Operator Z_C = 1∕sC berechnet werden, wenn man nach der Rücktransformation in den Zeitbereich noch die Anfangsspannung des Kondensators zum Ergebnis addiert.

Beispiel 19.9.1
(Operatoren)

In der angegebenen Schaltung mit U = 100 V, R = 25 Ω, L = 100 mH und C = 1 µF wird der Schalter geschlossen.

Es ist der zeitliche Verlauf der Spannung u_C zu bestimmen. Das Ergebnis ist grafisch darzustellen. (Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt t = 0.)

Die Lösung ist zum einen direkt mit der Laplacerücktransformation
${ 1 } ℒ −1 ----------------- = [ s(s − s1)(s − s2)] --1--- ---1--- ( s1t s2t) s1 ⋅ s2 ⋅ 1 + s1 − s2 ⋅ s2 ⋅ e − s1 ⋅ e$
und zum anderen mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung mit Hilfe der Laplacerücktransformationen ${ a } ℒ −1 -------2---2-- = ebt ⋅ sin(at) (s − b) + a )$
und
${ s − c } ℒ −1 ------2----2-- = ect ⋅ cos(dt) (s − c) + d )$
durchzuführen.
Die Ergebnisse sind grafisch darzustellen.

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:

uC (t) = 100V ⋅ [1 − 1,0008e −t∕8ms ⋅ sin(3,16ms −1 ⋅ t + 87,71∘)] ◟-----------◝◜-----------◞ ------------------------------cos(3,16ms−1⋅t−2,29∘)-----

19.9 Laplace-Transformation

19.9.1 Grundlagen der Laplace-Transformation

19.9.2 Laplace-Transformation der Ableitung einer Funktion

19.9.3 Laplace-Transformation des Integrals einer Funktion

19.9.4 Laplace-Rücktransformation

19.9.5 Sätze der Laplace-Transformationen

19.9.6 Laplace-Transformation einer Spannung

19.9.7 Anwendung der Laplace-Transformation

19.9.8 Laplace-Operatoren

19.9.9 Laplace-Operatoren mit Anfangswerten