Gleichstrom an Reihenschwingkreis

19.7 Gleichstrom an Reihenschwingkreis

RLC:

Können wir eigentlich jetzt auch einen Gleichsstrom an einen RLC-Reihenschwingkreis entsprechend Abb. 19.7.1 schalten und den Zeitverlauf des Stromes berechnen¹³?

Abbildung 19.7.1: Geschalteter Gleichstrom an einen RLC-Schwingkreis und LTspice-Simulation

→ Bei geschlossenem Schalter speichert die Spule eine magnetische Energie, die bei geöffnetem Schalter über die ideale Diode (U_D0 = 0V ) als elektrische Energie in den Kondensator geht. Wie ändert sich nach dem Schalten i(t), wenn R₂ = ∞ ist?

1. DGL:

Wir wollen uns auf die Unterschiede zur letzten Aufgabe konzentrieren und übernehmen daher soviel Ergebnisse wie möglich direkt ohne erneute Berechnung

2 d-i + R- ⋅ di +-1--i = U dt L dt LC 0

(19.7.1)

2. Netzwerkber.:

Die Berechnung der partikulären Lösung des eingeschwungenen Strom ergibt im Zeitbereich aufgrund des Kondensators in der Reihenschaltung direkt

ie = 0

(19.7.2)

3. Hom. DGL:

Übernehmen der Lösung der charakteritischen Gleichung der homogenen DGL mit den Kenngrößen der Schwingkreise

∘ (----)2------- λ1,2 = − -R- ± R-- − -1-- 2L ∘--2L------LC = − ω ϑ ± ω2 ϑ2 − ω2 r √ -r----- r = ωr (− ϑ ± ϑ2 − 1 ) (19.7.3)

4. Konstanten:

Es gibt drei unterschiedliche Fälle

Fall 1:

Im Aperiodischen Fall für ϑ > 1 wird Lösung der homogenen DGL zu

if = K1e λ1t + K2e λ2t

(19.7.4)

Aus den Anfangsbedingungen

i(0− ) = I0 = i(0+) = ie0 +K1 + K2 ◟◝◜◞ 0

(19.7.5)

mit dem Anfangsstrom durch die Spule

U0 I0 = --- R1

(19.7.6)

und (Gleichstrom durch die Spule)

|| uL(0+) = L dif|| = L(K1 λ1 + K2 λ2) = 0 dt |0+

(19.7.7)

erhalten wir die beiden Konstanten

λ2I0 K1 = -------- λ2 − λ1 --λ1I0-- K2 = λ1 − λ2 (19.7.8)

Fall 2:

Im Aperiodischen Grenzfall für ϑ = 1 gibt es nur eine Lösung der charakteristischen Gleichung und damit wird die Lösung der homogenen DGL

i = (K1 + K2 ⋅ t)eλt

(19.7.9)

Aus den Anfangsbedingungen

i(0− ) = I0 = i(0+ ) = K1

(19.7.10)

und

| dif || uL (0+) = L --- || = L (K1 λ + K2) = 0 dt 0+

(19.7.11)

erhalten wir die beiden Konstanten

K1 = I0 K2 = − λI0 (19.7.12)

Fall 3:

Im Periodischen Fall für ϑ < 1 gibt es zwei zueinander konjugiert komplexe Lösungen des charakteristischen Polynoms mit einer gedämpften Schwingung

eλt = e◟−◝a◜t◞ ⋅ e◟j◝b◜t◞ D¨ampfung Schwingung

(19.7.13)

Die Lösung der homogenen DGL wird

−at i = [K1 cos(bt) + K2 sin (bt)]e

(19.7.14)

Aus den Anfangsbedingungen

i(0− ) = I0 = i(0+ ) = K1

(19.7.15)

und

dif || uL(0+) = L ---|| = L [ωdK2 − aK1 ] = 0 dt |0+

(19.7.16)

erhalten wir die beiden Konstanten

K1 = I0 aI0 K2 = ---- (19.7.17) ωd

6. Berechnung:

Die nachfolgenden Grafiken zeigen den Stromverlauf beim Schalten eines RLC-Reihenschwingkreises an einen Gleichsstrom für die Schaltung in Abb. 19.7.1. Dazu werden die gleichen Bauelementewerte verwendet wie beim Einschalten an eine Wechselspannung: U₀ = 325 V, L = 0,525 H, C = 0,3 µF

Fall 1: R = 3600 Ω mit ϑ = 1,36 und
Fall 2: R = 2640 Ω mit ϑ = 1,00 und
Fall 3: R = 250 Ω mit ϑ = 0,09

Fall 1:

Im aperiodischen Fall verläuft der Strom beim Schalten eines Gleichstromes an den RLC-Kreis entsprechend Abb. 19.7.2 ohne Schwingung gedämpft durch den ohmschen Widerstand.

Abbildung 19.7.2: Aperiodischer Stromverlauf beim Schalten eines Gleichstromes

Fall 2:

Im aperiodischen Grenzfall verläuft der Strom beim Schalten eines Gleichstromes an den RLC-Kreis entsprechend Abb. 19.7.3 ebenfalls ohne Schwingung gedämpft, aber mit der kürzest möglichen Einschwingzeit.

Abbildung 19.7.3: Aperiodischer Grenzfall des Stromverlauf beim Schalten eines Gleichstromes

Fall 3:

Im periodischen Fall verläuft der Strom beim Schalten eines Gleichstromes an den RLC-Kreis entsprechend Abb. 19.7.3 mit einer Schwingung, bis er den stationären Zustand erreicht hat.

Abbildung 19.7.4: Periodischer Stromverlauf beim Schalten eines Gleichstromes

¹³Schaltung mit R = 3600Ω, LTspice-Simulation mit grün: i, blau u_C und rot: Schalten

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