19.1 Ausgleichsvorgänge

Definition:

Ein Ausgleichsvorgang beschreibt in einem allgemeinen physikalischen System den Übergang von einem stationären Zustand in einen anderen stationären Zustand. Insgesamt gibt es drei Zustände, wenn ein Ausgleichsvorgang auftritt:

1. Den Zustand vor dem Schaltvorgang,
2. den Ausgleichsvorgang und
3. den stationären Endzustand nach dem Ausgleichsvorgang.

Ursache:

Der Zustand eines elektrischen Netzwerkes wird durch seine gespeicherte Energie beschrieben. Energiespeicher sind

• Spulen, deren magnetische Energie

  (19.1.1)

  eine stetige Funktion des Stromes ist und

• Kondensatoren, deren elektrische Energie

  (19.1.2)

  eine stetige Funktion der Spannung ist.

Wirkung:

Sind Spulen und Kondensatoren in einem Netzwerk, so kann sich

• der Strom durch eine Spule und
• die Spannung an einem Kondensator

nur stetig ändern.

→ Im Gegensatz dazu können die Spannung an einer Spule und der Strom durch einen Kondensator Sprünge aufweisen.

Annahme:

Wir verwenden zur Berechnung von Schaltvorgängen einen idealen Schalter:

• Der zeitabhängige Widerstand des Schalters ändert seinen Wert von R = ∞ vor dem Schalten für t < 0 (Leerlauf) auf den Wert R = 0 nach dem Schalten für t ≥ 0 (Kurzschluss) in unendlich kurzer Zeit.
• In der Praxis würde z.B. ein Transistor␣als␣Schalter eine gewisse Zeit für den Wechsel des Schaltzustandes benötigen, also selbst ein Ausgleichsvorgang sein.

Beispiel:

Ein Schalter verbindet eine Spule mit einer Gleichspannungsquelle, wie in Abb. 19.3.1 zu sehen ist. ¹

---

t < 0:

I = 0

t = 0:

Schaltvorgang

i = f(t) = I_e+?

t ≫ 0:

I_e =

Abbildung 19.1.1: Beispiel eines Schaltvorganges

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Wirkung:

Der Energiespeicher Spule für magnetische Energie verhindert eine sprunghafte Änderung der Zustandsgröße Strom i bei der Spule.

→ Der Ausgleichvorgang gleicht den Strom I vor dem Ausgleichsvorgang stetig, d.h. ohne Sprung an den Strom I_e nach dem Ausgleichsvorgang an.

Ansatz:

Der Ausgleichsvorgang wird als Überlagerung des eingeschwungenen, stationären Zustandes und eines temporären, flüchtigen Übergangsvorganges aufgefasst.

Beispiel:

Für den Strom durch eine Spule erhalten wir mit dem eingeschwungenen Strom I_e und dem temporären, oft als flüchtig bezeichneten, Strom i_f

(19.1.3)

Vorteil:

Für den kompletten Ausgleichsvorgang können der stationäre Zustand und der Übergangsvorgang getrennt berechnet werden.

→ Die bisherigen Ergebnisse der Gleich- und Wechselstromtechnik können und müssen mitverwendet werden!

Mathematik:

• Zur Berechnung des stationären Anteils ist eine bekannte Gleich- oder Wechselstromrechnung notwendig.
• Die Berechnung des Übergangsvorganges erfordert die Aufstellung und die Lösung einer homogenen Differentialgleichung².

Bekanntes:

In Gleich- und Wechselspannungsnetzwerken gelten im eingeschwungenen Zustand die bekannten Gesetze

• Kirchhoffsche Maschenregel und
• Kirchhoffsche Knotenregel

Mathematik:

In Wechselspannungsnetzwerken ergeben die Maschen- und Knotenregeln für die Augenblickswerte Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.

• Die Ordnung der DGL entspricht der Anzahl nicht zusammenfassbarer Energiespeicher, den Spulen und Kondensatoren

  → Aufwendiger Lösungsweg im Zeitbereich

• Transformation zu einer algebraischen Gleichung im komplexen Bildbereich

  → Einfache Lösung und anschließende Rücktransformation