Vierpolersatzschaltung des eisenfreien Transformators

14.6 Vierpolersatzschaltung des eisenfreien Transformators

ESB:

Alle Vierpole, deren Klemmenverhalten durch die Transformatorgleichungen 14.2.5 beschrieben wird, verhalten sich nach außen (d.h. an den Klemmen 1, 1’, 2 und 2’ in Abb. 14.6.1 ) wie ein Transformator und können somit als Transformator-Ersatzschaltung verwendet werden.

Abbildung 14.6.1: 4-Pol Transformatorersatzschaltung, ist das eine Pi-Schaltung oder vielleicht eine T-Schaltung?

Ansatz:

In Gln. 14.2.5 subtrahiert man in der ersten Gleichung vom zweiten Summanden den Wert jωüMI₁ und addiert ihn zum dritten hinzu. In der zweiten Gleichung verfährt man analog, nachdem diese zuvor mit ü multipliziert wurde mit dem Term jωMI₂.

Umformung:

Man erhält dann für Masche 1 und 2²

U- = R1I--+ jω (L1− ¨uM )I-+ jω ¨uM (I- − I2) 1 1 1 1 ¨u 2 I2- 2 I2- I2- − ¨uU-2 = ¨u R2 u¨ + jω (u¨ L2− ¨uM )¨u − jω¨uM (I1− ¨u ) (14.6.1)

ESB:

Die Gleichungen 14.6.1 beschreiben die Transformatorersatzschaltung entsprechend Abb. 14.6.2.

Abbildung 14.6.2: Vierpol als Transformatorersatzschaltung mit T-Schaltung

ESB:

Ist Abb. 14.6.3 das auch ein richtiges ESB des Transformators?

Abbildung 14.6.3: Vierpol 2 als Transformatorersatzschaltung mit symmetrischer T-Schaltung

Problem:

Wie können Sie überprüfen, ob die Transformatorgleichungen 14.2.5 diese Schaltung beschreiben?

Lösung:

So geht es:

Was bedeutet die Variable k?
Auftstellen der Maschengleichungen!
Umformen der Maschengleichungen!

Übersetzung:

Das Übersetzungsverhältnis ist gegeben durch Gln. 14.4.6 zu

∘ --- L ¨u = --1 L2

(14.6.2)

Kopplung:

Zur besseren Übersicht wird der Kopplungsfaktor eingeführt

M k = √------ L1L2

(14.6.3)

Da nur in Idealfall totaler Kopplung (d.h. streuungsfrei) M = √ -----
L1L2 wird, gilt beim realen Transformator 0 < k < 1.

Ergänzung:

Erweitert man Gln. 14.6.3 mit √ ---
L1 ∕ so erhält man mit Gln. 14.6.2

√ --- ∘ --- k = √--M---L√1---= M--⋅ L1- = M--⋅ ¨u L1L2 L1 L1 L2 L1

(14.6.4)

die Beziehung für die Hauptinduktivität

L = ¨uM = kL h 1

(14.6.5)

Masche 1:

Stellen wir nun die Maschengleichungen für das ESB in Abb. 14.6.3 auf. Für die linke Masche erhalten wir:

U- = R1I-- + jωL1 (1 − k)I-+ jωkL1 (I-− I2) 1 1 1 1 ¨u k- = R1I1- + jωL1I1-− jωL1kI1-+ jωkL1I1- − jω ¨uL1I2 √-M√--- = R I + jωL I − jω--L√1-L2 L I 1-1 1-1 √-L1 1-2 L2 √--- ------L2----- = R1I1- + jωL1I1-− jωM √L---√L--√L--L1 I2 ◟---1--◝2◜---1--◞ =1 = R1I1- + jωL1I1-− jωM I2 (14.6.6)

Masche 2:

Und für die rechte Masche entsprechend:

2 I2 I2 I2 − ¨uU-2 = R2 ---+ jωL1 (1 − k)---− jωkL1 (I1 − --) ¨u ¨u ¨u = R2I2 + jωL1 I2-− jωL1k I2− jωkL1I1- + jωkL1 I2- ¨u ¨u ¨u I2- = R2I2 + jωL1 ¨u − jωkL1I1- L1 k − U-2 = R2I2 + jω -2I2 − jω --L1 I1 ¨u u◟¨◝◜◞ =M L1L2- = R2I2 + jω L I2 − jωM I1 ◟-◝1◜ ◞ =L2 = R2I2 + jωL2I2- − jωM I1 (14.6.7)

Streuung:

Zur Beschreibung der Streuung beim realen Transformator wird zusätzlich der Streufaktor definiert

M--2- 2 σ = 1 − L1L2 = 1 − k

(14.6.8)

Freiheit:

Im Grenzfall idealer Kopplung (k = 1) erhalten wir das Ersatzschaltbild eines streuungsfreien Transformators mit Verlusten (siehe Abb. 14.6.4 .

Abbildung 14.6.4: Ersatzschaltung eines streuungsfreien Transformators mit Verlusten

²Dabei bezeichnet der Ausdruck I₂∕ü den auf die Primärseite transformierten Sekundärstrom I₂.

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