Induktivität

13.3 Induktivität

Spule:

Schalten wir entsprechend Abb. 13.3.1 eine Spule an eine reale Spannungsquelle⁶, so baut der Strom durch diese Spule ein Magnetfeld auf, das einen sich aufbauenden Fluss Ψ zur Folge hat.

Abbildung 13.3.1: Induktivität einer Spule

→ Dieser Fluss erzeugt nach der Lenzschen Regel die Induktionsspannung u_i, die der den Strom treibenden Spannung U_q entgegengesetzt ist. Damit wird im Verbraucherzählpfeilsystem die Spannung an der Spule zu⁷

dΨ dΦ uL = ---= N --- dt dt

(13.3.1)

Luftspule:

Für die ideale Luftspule⁸ mit der Querschnittsfläche A und der Länge l erhalten wir mit der magnetischen Feldstärke

N i H = --- l

(13.3.2)

den magnetischen Fluss zu

Φ = BA = AμH = A-μN-i l

(13.3.3)

Spannung:

Eingesetzt erhalten wir die Spulenspannung zu

uL = N dΦ- = N -d AμN--i dt dt l

(13.3.4)

Da die einzige zeitabhängige Größe der Strom i ist, können die anderen Konstanten vor das Differential gezogen werden

2 uL = A-μN-- ⋅ di l dt

(13.3.5)

Induktivität:

Die Konstanten werden zur Induktivität L der Spule zusammengefasst

2 2 A-μN-- N--- L = l = Rm

(13.3.6)

mit dem magnetischen Widerstand nach Gln. 12.5.11.

Für die induzierte Spannung erhalten wir damit entsprechend der früher eingeführten Gln. 12.6.7

di uL = L -- dt

(13.3.7)

Spulenkern:

Für Luftspulen ist die Induktivität L nach Gln. 13.3.6 konstant. Bei Spulen mit Eisenkern geht zusätzlich die relative Permeabilität μ_r = f(B,H) ein, die zu einer nichtlinearen Induktivität führt, die also eine Funktion des Arbeitspunktes in der B(H)-Kurve ist.

⁶Es ist eine reale Spannungsquelle mit R_i≠0 notwendig, damit u_L(t = ∞) = 0 und i(t = ∞)≠∞ wird.

⁷Das Vorzeichen ist positiv, da bei einer Spannung u_q ≥ u_L ≥ 0 der Strom i = (u_q − u_L)∕R_i durch die in der Spule induzierte Spannung kleiner wird.

⁸Mit μ = μ_rμ₀ und μ_r = 1, d.h. der Kern ist aus nicht magnetischem Material, z.B. Holz oder Kunststoff und ohne ohmschen Widerstand der Spulendrähte

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