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9.7 Kenngrößen

Berechnungen:

Zur Überführung einer gegebenen analytischen Funktion f(t) in eine Fourierreihe kann folgendermaßen vorgegangen werden:

  1. Angabe der Funktionsgleichung und graphische Darstellung der Funktion
  2. Untersuchung der Funktion nach Symmetrien
  3. Berechnung der Fourierkoeffizienten nach den angegeben Formeln
  4. Aufstellen der Fourierreihe in ausführlicher Form
  5. Weitere Berechnungen:
    • Effektivwerte
    • Leistungen

9.7.1 Effektivwert

Effektivwert:

Der Effektivwert eines sinusförmigen Wechselstroms berechnet sich zu

┌│ ---t+T----- ││ 1 0∫ I = ∘ T- i2dt t0
Wird die Stromfunktion i(t) durch eine Fourierreihe in Spektralform nach Gln. 9.3.1 dargestellt, so ergibt sich mit mit dem Gleichanteil ī = a0 und dem Scheitelwert îν = ∘ ------- a2ν + b2ν der ν-ten Teilschwingung entsprechend Gln. 9.3.6
┌ ----------------------------------- ││ t0+∫T [ n ]2 I = │∘ -1 ¯i + ∑ ˆi sin (ν ωt + φ ) dt T ν=1 ν ν t0
(9.7.1)

→ Durch das Quadrieren entstehen gemischte Ausdrücke des Typs sin(μωt + φμ) sin(νωt + φν), deren Integral über eine Periodendauer stets Null ist. Durch Vertauschung der Reihenfolge der Summation mit der Integration ergibt sich

┌ ------------------------------------------ ││ t0∫+T n t0+∫T I = ││ 1- ¯i2dt + ∑ -1 ˆi2sin2 (ν ωt + φ )dt ││ T ν=1T ν ν │∘ ◟--t0◝◜---◞ ◟--t0-------◝◜-----------◞ I20 I2ν
(9.7.2)

Allgemein:

Die einzelnen Summanden sind jeweils der Effektivwert der ν-ten Teilschwingung

┌│ ---t0∫+T-------------------- ││ 1- ˆ2 2 ˆiν-- Iν = ∘ T iν sin (ν ωt + φν)dt = √2- t0
(9.7.3)

Bezeichnet man den Gleichanteil wie bisher mit

┌│ ----------- ││ 1 t0∫+T I0 = ∘ -- ¯i2dt T t0
(9.7.4)

so ergibt sich der Effektivwert einfach als

┌ ----------- ┌ ------ ││ ∑n ││ n∑ I = ∘ I20 + I2ν = ∘ I2ν ν=1 ν=0
(9.7.5)

Entsprechend wird der Effektivwert des Wechselstromanteils zu

┌ ------ ∘ ------2 ││ ∑n I∼ = I2 − I0 = ∘ I2ν ν=1
(9.7.6)

9.7.2 Leistung

Wirkleistung:

Die Wirkleistung P einer zeitlich veränderlichen periodischen Augenblicksleistung p(t) ist

1 ∫T 1 ∫T P = -- p(t) dt = -- u (t) ⋅ i(t) dt T 0 T 0
(9.7.7)

Die nicht sinusförmigen Spannung u(t) kann mit einer Fourierreihe nach Gln. 9.3.10 approximiert werden zu

∑n ∑n u(t) = au,0 + au,ν cos(ν ωt) + bu,ν sin(νωt ) ν=1 ν=1
(9.7.8)

und ebenso der Strom

∑n ∑n i(t) = ai,0 + ai,ν cos(νωt) + bi,ν sin (ν ωt) ν=1 ν=1
(9.7.9)

Eingesetzt in die Gleichung der Wirkleistung ergibt sich

∫T [ n∑ ∑n ] P = 1- au,0 + au,ν cos(νωt) + bu,ν sin (ν ωt) ⋅ T 0 ν=1 ν=1 [ n n ] a + ∑ a cos(νωt) + ∑ b sin(ν ωt) dt i,0 ν=1 i,ν ν=1 i,ν (9.7.10)
Vereinfachung:

Mit den Orthogonalitätsrelationen der trigonometrischen Funktionen (Gln. 9.4.7) ergibt sich wieder vereinfachend

∫T[ n P = 1- a a + ∑ a a cos2(νωt ) T u,0 i,0 ν=1 u,ν i,ν 0 n ] ∑ 2 + bu,νbi,ν sin (ν ωt) dt [ νn=1 n ] = 1- a a T + ∑ a a T-+ ∑ b b T- T u,0 i,0 ν=1 u,ν i,ν 2 ν=1 u,ν i,ν2 (9.7.11)
Ergebnis:

Die Wirkleistung kann direkt aus den Fourierkoeffizienten der Spannungs- und Stromreihe berechnet werden als Summe der Gleichleistung, Grundwellenleistung, und Oberwellenleistung entsprechender Ordnung

1 ∑n P = au,0ai,0 +-- (au,νai,ν + bu,νbi,ν) 2 ν=1
(9.7.12)

Oder:

Anstelle der Fourierkoeffizienten können mit Gln. 9.3.4

aν = ˆgν sin φν

und Gln. 9.3.5

bν = ˆgν cos φν

auch die Scheitelwerte und Nullphasenwinkel der Spannungs- und Stromfunktion verwendet werden

∑n uˆ ˆi P = U0I0 + √-ν-√ν-(sinφu,ν sin φi,ν + cosφu,ν cos φi,ν) ν=1 ◟◝2◜◞ ◟◝◜2◞ Uν Iν
(9.7.13)

Mit den Effektivwerten und der trigonometrischen Umrechnung (Papula, 2006, Seite 94) ergibt sich

∑n P = U0I0 + U νIν cos(φu,ν − φi,ν) ν=1 ◟---◝◜---◞ φν
(9.7.14)

Ergebnis:

Die Wirkleistung bei nicht sinusförmigen periodischen Spannungen und Strömen ist gleich der Summe der Gleichleistung und der Wechselstromleistung der Grund- und Oberwellen

∑n P = U0I0 + UνIν cos φν ν=1
(9.7.15)

Scheinleistung:

Das Produkt der Effektivwerte nach Gln. 9.7.5 von Spannung und Strom liefert wie bekannt die Scheinleistung

S = U( I┌ ------) ( ┌ -----) ││ ∑n ││ ∑n = ( ∘ Uν2) ⋅( ∘ I2ν) ν=0 ν=0 ┌│ (-n----)---(-n---)-- = │∘ ∑ U2 ⋅ ∑ I2 (9.7.16) ν=0 ν ν=0 ν
die Aufgrund der Mischterme nicht einfach aus der Addition der Scheinleistungen der einzelnen Harmonischen berechnet werden kann.
Blindleistung:

Auch die Blindleistung

Q = √S2--−-P-2
(9.7.17)

enthält zusätzliche Mischterme, so dass sich die Blindleistung aus der Addition der Blindleistungen der einzelnen Harmonischen

n ∑ Qh = ν=1 UνIν sin φν
(9.7.18)

und entsprechend den Mischtermen einer zusätzlichen Verzerrungsblindleistung Qd zusammensetzt.

Leistungsfaktor:

Wir erweitern jetzt noch den aus der Wechselstromtechnik bekannten Leistungsfaktor für Ströme und Spannungen in Fourierreihen und erhalten mit

∑n λ = P- = U∘0I0 +---ν=1U-νIν cosφ-ν S (∑n U 2) ⋅ (∑n I2) ν=0 ν ν=0 ν
(9.7.19)

den allgemeinen Fall, bei dem eine reine Wechselspannung mit der ersten Harmonischen (k = 1, f = 50Hz) nur ein Sonderfall ist

λ = Uk∘Ik-cosφk-= cosφ U 2 ⋅ I2) k k k
(9.7.20)

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