Die Zerlegung einer periodischen Funktion in einzelne sinusförmige Teilschwingungen wird als Fourieranalyse bezeichnet.
→ Das Ergebnis der Fourieranalyse sind die Koeffizienten der Fourierreihe.
Da die Fourierreihe nach Gln. 9.3.10 eine Linearkombination der Koeffizienten ist, kann Gln. 9.3.2 mit der Kettenregel nach den Koeffizienten differenziert werden.
→ Differenzieren nach den Konstanten aν, wobei ν = 0 für den Koeffizienten a0 steht, ergibt
→ Verfährt man ebenso für die bν so erhält man 2n + 1 Gleichungen für die 2n + 1 Fourierkoeffizienten.
Mit der Kettenregel der Differentialrechnung (y = F(u(x)) ergibt y′ = F′(u) ⋅ u′(x)) ergibt sich für den Koeffizienten a0
| (9.4.2) |
und für die anderen Koeffizienten aν
| (9.4.3) |
Mit der Summenregel der Differentialrechnung ergibt sich nach dem Trennen der Integrale für den Koeffizienten a0
und für die anderen Koeffizienten aν
Für die Integrale auf der rechten Seite gilt entsprechend den Orthogonalitätsrelationen der trigonometrischen Funktionen
und
und
→ Die Integrale mit den Sinustermen werden für die analoge Berechnung der bν benötigt.
Es ergibt sich das vereinfachte Gleichungssystem
Somit erhalten wir den Gleichanteil a0 der Funktion f(t) zu
| (9.4.12) |
Ebenso werden die Fourierkoeffizienten aν der Funktion f(t) zu
| (9.4.13) |
Und die Fourierkoeffizienten bν der Funktion f(t) sind damit
| (9.4.14) |
Bei periodischen Funktionen mit besonderen Symmetrieeigenschaften werden einige der Koeffizienten der Fourierreihe zu Null:
→Gleichanteil ist Null
→ Form der positiven und negativen Halbschwingung gleich. (Tabelle: x = Koeffizienten von gradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz sind Null.)
Funktion | Graph | Bedingung | Koeffizienten
| ||
|
|
| a 0 | aν | bν |
Gerade (wie cos) |
|
f(−t) = f(t) |
|
| 0 |
Ungerade (wie sin) |
|
f(−t) = −f(t) |
| 0 |
|
Funktion | Graph | Bedingung | Koeffizienten
| ||
|
|
| a 0 | aν | bν |
Wechsel |
|
f(t) = 0 | 0 |
|
|
Alter- nierend |
|
f(t + T∕2) = −f(t) (rot: -f(t)) | 0 | x | x |
Welche Koeffizienten sind Null für die symmetrische Rechteckschwingung in Abb. 9.4.3 mit dem Tastverhältnis 1∕2?
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:
Es handelt sich um eine
Für die Darstellung in Abb. 9.4.4 wurden ungerade Koeffizienten der Kosinusfunktionen bis n = 15 verwendet. Die Berechnung der Koeffizienten sei zur Übung empfohlen.
Es sind die Fourierkoeffizienten der Rechteckfunktion in Abb. 9.4.5 für eine zeitliche Verschiebung um Δt = T∕4 zu berechnen!
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind: