2.4 Anwendungen der Kirchhoffschen Gleichungen

2.4.1 Schiebewiderstand ohne Belastung

Frage:

Was ist ein Schiebewiderstand?

Antwort:

Ein Schiebewiderstand mit einem Schleifkontakt dient zur Realisierung eines variablen Widerstandswerts R_a. Die Bauform (siehe Abb. 2.4.1) kann gerade (Schiebewiderstand) oder rund (Potentiometer) sein. Wesentliches Merkmal sind 3 Anschlüsse, wobei über 2 (gleichfarbig oder außen) der komplette Widerstand und über den dritten (anders farbig oder Mitte) der Abgriff zugänglich ist.

---

Abbildung 2.4.1: Verschiedene Schiebewiderstände

---

Praxis:

Ein variabel in 2 Teile teilbarer Widerstand, dessen variable Teile R′ und R_a sich immer zur Summe R = R′ + R_a ergänzen (siehe Abb. 2.4.2) !

---

Abbildung 2.4.2: Prinzip Schiebewiderstand (Potentiometer)

---

→ Der Widerstand R setzt sich aus den Teilwiderständen R′ und R_a zusammen.

Spannung:

Nach Gln. 2.3.23 (Spannungsteiler) ist die Ausgangsspannung U_a in Abb. 2.4.2 proportional zur abgegriffenen Widerstandslänge.

Werte:

Es gilt allgemein 0 ≤ a ≤ 1 und speziell U_a = 0 für a = 0 und U_a = U für a = 1.

Aus der Spannungsteilerregel ergibt sich direkt

(2.4.1)

mit a, dem Maß für die Verschiebungsstrecke (oder den Drehwinkel).

Sonderform:

Bei einem logarithmischen Drehwiderstand nimmt der Widerstand bei gleichen Drehwinkeln in Dekaden zu (1 bis 10 Ω, 10 bis 100 Ω, 100 bis 1000 Ω, usw.).

→ Anwendung: In der Rundfunktechnik als Lautstärkeregler. Aufgrund der ebenfalls logarithmischen Charakteristik des Ohres erscheint dann bei gleichen Drehwinkeln die Lautstärke entsprechend linear zuzunehmen.

2.4.2 Schiebewiderstand mit Belastung

Belastung:

Gln. 2.4.1 ist nur gültig ohne Belastung des Schleifers. Die Charakteristik ändert sich, wenn entsprechend Abb. 2.4.3 aus dem Abgriff ein Strom entnommen wird.

---

Abbildung 2.4.3: Schiebewiderstand mit Belastung

---

Frage:

Wie groß ist die Spannung U_a = f(a,R,R_V ,U)?

→ Bevor wir rechnen eine Verständnisfrage: Wird die Spannung größer oder kleiner bei Belastung?

Ströme:

Für die Ströme können wir schreiben

Weiterhin gilt für die Stromsumme im Knoten

(2.4.3)

Spannungen:

Andererseits ist die Spannung in der Masche

(2.4.4)

Mit der Teilspannung

(2.4.5)

erhalten wir dann erstmals ein Ergebnis

Mathematik:

Division durch U_a ergibt den Quotienten

Ergebnis:

Mit dem Kehrwert wird das Ergebnis zu

→ Falls kein Verbraucher angeschlossen ist (R_V = ∞), so folgt R∕R_V = 0 und wir erhalten damit wieder das Ergebnis von Gln. 2.4.1.

2.4.3 Vorwiderstand

Vorwiderstand:

Ein Schiebewiderstand kann auch als Vorwiderstand für einen Verbraucher (z.B. Glühbirne) eingesetzt werden, um eine Spannungsanpassung vorzunehmen (siehe Abb. 2.4.4) .

---

Abbildung 2.4.4: Schaltung zum Vorwiderstand

---

Strom:

Der gemeinsame Strom I der Reihenschaltung erzeugt am Verbraucher den Spannungsabfall U_V = IR_V . Der Strom berechnet sich zu

Spannung:

Damit erhalten wir entsprechend der Spannungsteiler-Regel

(2.4.10)

U_{V min}:

Für R_a = R (bei a = 1) erhalten wir die minimale Verbraucherspannung zu

(2.4.11)

→ Die Verbraucherspannung kann demnach nicht zu Null werden. Speziell für R = R_V wird U_V = U₀∕2.

U_{V max}:

Für R_a = 0 (bei a = 0) erhalten wir die maximale Verbraucherspannung zu

(2.4.12)

Problem:

Die Verlustleistung geht im Vorwiderstand als Wärme „verloren“.

Beispiel 2.4.1
(Reihe)

Eine elektrische Weihnachtsbaumbeleuchtung soll mit einem veränderlichen Vorwiderstand so eingestellt werden, dass die 15 Kerzen einmal volle und einmal halbe Spannung erhalten. Bei voller Lichtstärke erhält jede Kerze I = 0,7 A, wobei die Kerzen am Lichtnetz mit U = 220 V betrieben werden.

1. Auf welche Spannung ist jede Kerze ausgelegt?
2. Wie groß muss der Vorwiderstand sein, damit jede Kerze nur noch mit halber Spannung betrieben wird?
3. Entspricht Abb.2.4.5 der Aufgabenstellung?

---

Abbildung 2.4.5: Weihnachtsbaumbeleuchtung als Problem

---

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:

und

2.4.4 Strommesser

Frage:

Was ist ein Strommesser?

Antwort:

Ein zusätzlicher Widerstand im Stromkreis, da es in der Praxis nur reale Messgeräte mit Innenwiderständen gibt! Ein digitales und ein analoges Multimeter (Vielfachmessgerät für Widerstand, Spannung oder Strom) sind in Abb. 2.4.6 zu sehen.

---

Abbildung 2.4.6: Digitale und analoge Vielfachmessgeräte

---

→ Welchen Innenwiderstand hat ein ideales Amperemeter?

Prinzip:

Bei üblichen Strommessern ist der Vollausschlag schon bei sehr kleinen Strömen (μA) erreicht. Zur Messung größerer Ströme muss der Überstrom am Messwerk über einen Nebenwiderstand (Shunt) vorbeigeleitet werden (siehe Abb. 2.4.7) .

Digitale oder analoge Vielfachmessgeräte können entweder zur Strom- oder zur Spannungsmessung verwendet werden. Analoge Messgeräte sind immer seltener anzufinden.

---

Abbildung 2.4.7: Erweiterung des Strommessbereiches

---

Zahlen:

Ein Messwerk habe den Innenwiderstand R_i = 333 Ω und einen Vollausschlag beim Strom I₀ = 0,3 mA. Es soll ein Strom von I_M = 6 A gemessen werden. Der Überstrom

muss am Messwerk vorbei fließen.

 

Es tritt nach dem Ohm’schen Gesetz ein Spannungsabfall

bei Vollausschlag an Messwerk und Nebenwiderstand auf. Damit wird

→ Realisierung: Ein dickeres Drahtstück.

Praxis:

Die Erweiterung des Strombereiches um den Faktor n = I_M∕I₀ erfordert (im Beispiel) einen Nebenwiderstand R_p = R_i∕(n − 1) = 333 Ω∕(20 000 − 1) = 0,016 65 Ω.

In Abb. 2.4.8 ist die Erweiterung eines Amperemeters mit mehreren Messbereichen zu sehen.

---

Abbildung 2.4.8: Realisierung eines Amperemeters mit 4 Messbereichen

---

2.4.5 Spannungsmesser

Prinzip:

Zur Messung kleiner Spannungen muss der Vollausschlag des Spannungsmessers schon bei sehr kleinen Spannungen (μV ) erreicht sein. Bei größerer Spannungen fällt die Überspannung an einem Reihenwiderstand ab (siehe Abb. 2.4.9) .

---

Abbildung 2.4.9: Erweiterung des Spannungsmessbereiches

---

Zahlen:

Gegeben sei dasselbe Messwerk mit Innenwiderstand R_i = 333 Ω und Vollausschlag bei U₀ = 100 mV. Es soll eine Spannung von U_M = 220 V gemessen werden. Die Überspannung

muss vor dem Messwerk am Vorwiderstand abfallen.

 

Durch Messwerk und Vorwiderstand fließt bei Vollauschlag der Strom

Nach dem Ohmschen Gesetz ergibt sich dann

Praxis:

Die Erweiterung des Spannungsbereiches um den Faktor n = U_M∕U₀ erfordert (im Beispiel) einen Vorwiderstand R_v = R_i(n − 1) = 333 Ω ⋅ (2200 − 1) = 732,3 kΩ.

In Abb. 2.4.10 ist die Erweiterung eines Voltmeters mit mehreren Messbereichen zu sehen.

---

Abbildung 2.4.10: Realisierung eines Voltmeters mit 4 Messbereichen

---

2.4.6 Spannungs- und Strommessung

Strommesser:

Immer in Reihe zum Verbraucher, da der Strom in der Serienschaltung überall gleich groß ist.

Spannungsmesser:

Immer parallel zum Verbraucher, da die Spannung bei einer Parallelschaltung gleich groß ist.

Leistungsmessung:

Bei gleichzeitiger Messung von Strom und Spannung eines Verbrauchers zur Leistungsmessung tritt immer ein prinzipieller Messfehler auf, da nicht beide Bedingungen gleichzeitig erfüllbar sind.

---

Abbildung 2.4.11: Spannungsrichtige oder stromrichtige Messung am Verbraucher

---

→ Es sind 2 Schaltungen entsprechend Abb. 2.4.11 möglich, deren Auswahl nach den Eigenschaften des Verbrauchers getroffen werden muss.

Beispiel 2.4.2
(Messung)

Geben sei ein sehr gutes Amperemeter mit einem Innenwiderstand R_iA = 1 Ω und ein sehr gutes Voltmeter mit einem Innenwiderstand R_iV = 1 MΩ.

Welche Schaltung soll zur Leistungsmessung verwendet werden bei einem Widerstand R_a1 = 1 Ω und bei R_a2 = 1 MΩ?

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:

→ Stromrichtige Messung bei R_iA ≪ R_a

→ Spannungsrichtige Messung bei R_iV ≫ R_a

2.4.7 Wheatstonesche Brückenschaltung

Brückenschaltung:

Sie besteht entsprechend Abb. 2.4.12 aus 4 Widerständen, von denen je 2 in Reihenschaltung als Parallelschaltung an der Spannungsquelle sind.

---

Abbildung 2.4.12: Wheatstonesche Brückenschaltung

---

Spannung:

In den Brückenwiderständen R₁…R₄ entstehen die Spannungsabfälle U₁…U₄, wodurch sich i.a. auch eine Spannung U₅≠0V zwischen den Punkten (A) und (B) einstellt.

→ Die 4 Widerstände so wählen, dass die Brückenspannung U₅ = 0V und somit I₅ = 0 A wird.

Strom:

Das Ergebnis einer längeren Rechnung (Anwendung von Knoten- und Maschenregel, siehe Übung) liefert¹⁵

(2.4.13)

Damit I₅ = 0 ist muss der Zähler zu Null werden

(2.4.14)

Praxis:

In der Praxis wird diese Bedingung über die Widerstandsverhältnisse der Parallelzweige definiert zu

(2.4.15)

oder gleichwertig über die Widerstandsverhältnisse der Reihenzweige zu

(2.4.16)

Messgerät:

Abb. 2.4.13 zeigt die Verwendung als Messprinzip für die Messung von Widerständen.

---

Abbildung 2.4.13: Bestimmung von Widerständen mit der Wheatstoneschen Brückenschaltung

---

Prinzip:

Das Brückeninstrument M hat den Nullpunkt in der Mitte. Die Widerstände R₂ und R₄ werden als Teilwiderstände eines Schiebewiderstandes (Drehwiderstandes) realisiert.

→ Zur Messung wird der unbekannte Widerstand R_x anstelle von R₃ angeschlossen und der Schleifer solange gedreht, bis das Instrument keinen Ausschlag mehr anzeigt.

Rechnung:

Aus der Abgleichbedingung in Gln. 2.4.15 ergibt sich direkt der unbekannte Widerstand zu

(2.4.17)

Praxis:

• Der Wert des Widerstandes R₁ muss sehr genau bekannt sein.

  → Mit R₁ wird der Messbereich ausgewählt.

• Die Längen- und Widerstandsänderungen müssen sehr genau proportional zueinander sein.

  → An der Skala des Drehwinkels wird direkt der Widerstandswert abgelesen.

• Die Quellenspannung U₀ geht nicht ein.

  → Aber die Empfindlichkeit ist proportinal zur Brückenspannung entsprechend Gln. 2.4.13.

  → Beim alternativen Ausschlagverfahren zur Widerstandsmessung geht U₀ in die Messung ein und es muss vor jeder Messung eine Kalibrierung erfolgen.

Mechatronik:

Abb. 2.4.14 zeigt die Verwendung als zeitabhängiger Schreiber (x(t)-Schreiber) einer beliebigen physikalischen Größe bei Wahl eines geeigneten Messfühlers.

---

Abbildung 2.4.14: Brückenschaltung im Kompensationsschreiber

---

→ Als Messfühler kann z.B. ein temperaturabhängiger Widerstand eingesetzt werden.

Aufbau:

Anstelle des Messinstrumentes wird die Brückenspannung U₅ einem Verstärker zugeführt, dessen Ausgangsspannung einen Motor antreibt, der über eine geeignete Mechanik den Abgriff des Schiebewiderstandes verschiebt, an dem zusätzlich ein Schreibstift angebracht ist.

Prinzip:

• Falls die Widerstandskombination R(T), R₂, R₃ und R₄ abgeglichen ist, erhält der Verstärker kein Signal und der Motor steht still.
• Bei einer Änderung von R(T) erhält der Verstärker solange ein Signal, bis über den Motor die Brücke wieder abgeglichen ist.
• Realisierung eines Nullspannungsabgleiches kombiniert mit einer beliebigen Verschiebung des Messbereiches.

Beispiel 2.4.3
(Brücke)

Das Instrument im Brückenzweig der Schaltung mit den Werten R₂ = 1 kΩ, R₃ = 1 kΩ, R₄ = 1 kΩ und U = 12 V misst, ohne die Brücke zu belasten, zwischen A und B eine Spannung U_AB = −2,2 V.

Der Widerstand R(T) ist ein NTC-Widerstand mit dem Temperaturbeiwert von B = 4000 K und einem Kaltwiderstand (bei 298 K, entsprechend 25 ∘C) von R ₂₅ = 1300 Ω.

Welcher Temperatur ist er ausgesetzt?

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind: