3.5 Maschenanalyse

Praxis:

Es existiert ein Verfahren mit dem das Gleichungssystem 3.2.9

(3.5.1)

(R Widerstandsmatrix, I und U Vektoren) direkt aufgestellt werden kann:

→ Das Maschenstrom-Verfahren ist das meistbenutzte Verfahren zur Netzwerkanalyse. Es erstellt direkt das Gleichungssystem mit nur

(3.5.2)

Maschengleichungen.

→ Für die numerische Lösung des Gleichungssystem können moderne Taschenrechner verwendet werden.

Prinzip:

Die unbekannten Zweigströme werden in abhängige und unabhängige Ströme aufgeteilt.

→ Mit der Maschenanalyse werden die unabhängigen Zweigströme bestimmt, die in den Verbindungszweigen des vollständigen Baumes fließen.

Ergebnis:

Das Gleichungssystem besteht aus m Maschengleichungen

(3.5.3)

Verfahren:

1. Auf der Hauptdiagonalen stehen die Umlaufwiderstände R_ii (positive Summe der Widerstände der Maschen).
2. Auf den Nebendiagonalen stehen die Kopplungswiderstände R_ij: Positiv, wenn die im Kopplungswiderstand verknüpften Maschenströme dieselbe Richtung haben, sonst negativ.
3. Die unbekannten Maschenströme I_i stehen auf der linken Seite des Gleichungssystem.
4. Auf der rechten Seite steht die Summe der Quellenspannungen U_qi der betrachteten Masche: Positiv, wenn der Maschenstrom entgegengesetzt zur Quellenspannung ist.

3.5.1 Topologie eines Netzes

Topologie:

Unter der Topologie eines Netzes² versteht man die Struktur eines Netzes, also den Aufbau unabhängig von tatsächlichen Bauelementen und deren Werten. Welche reale Schaltung könnte denn den Graphen in Abb. 3.5.1 erzeugt haben?

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Abbildung 3.5.1: Topologische Grundbegriffe von Netzen

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Begriffe:

Folgende Begriffe sind zur Untersuchung der Topologie eines Netzes hilfreich:

1. Der Graph eines Netzes ist die reine geometrische Anordnung des Netzes, auch Streckenkomplex genannt.
2. Ein gerichteter Graph entsteht aus einem Graphen, indem die Zählpfeile der Zweigströme (und damit auch der entsprechenden Spannungen) eingezeichnet werden.
3. Ein vollständiger Baum verbindet alle Knoten miteinander, ohne eine geschlossenen Masche zu bilden. Die Zweige des Baumes heißen Baumzweige. Es gibt immer (k − 1) Baumzweige.
4. Mit Verbindungszweig werden die restlichen Zweige des Netzwerkes, die nicht Baumzweige sind, bezeichnet. Diese bilden ein System von m′ = z − (k − 1) unabhängigen Zweigen.
5. Man findet die unabhängigen Maschen, wenn man jeweils genau einen Verbindungszweig mit den Baumzweigen zu einem geschlossenen Umlauf verbindet.

Merke:

Für jeden vollständigen Baum gibt es nur eine Möglichkeit der Maschenbildung!

3.5.2 Beispiel zum Maschenanalyse

Beispiel:

Für die Schaltung aus Abb. 3.5.2 soll das Gleichungssystem der Maschenstromanalyse erstellt werden. Dazu wird zuerst der gerichtete Graph des Netzes gezeichnet

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Abbildung 3.5.2: Netz mit zwei Spannungsquellen und dessen gerichteter Graph

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Baum:

Von den drei möglichen vollständigen Bäumen des gerichteten Graphen in Abb. 3.5.3 wird für das Beispiel derjenige ausgewählt, dessen Ergebnisse sich am leichtesten mit den bisherigen Rechnungen vergleichen lassen.

→ Zweig 3 wird Baumzweig.

→ Zweige 1 und 2 sind Verbindungszweige.

Maschen:

Es ergeben sich zwei Maschen in Abb. 3.5.3 , deren Umlaufsinn den Richtungen der unabhängigen Maschenströme I₁ und I₂ entsprechen.

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Abbildung 3.5.3: Netzwerk mit vollständigem Baum und eingezeichneten Maschen

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Ergebnis:

Nach den Regeln der Maschenanalyse ergibt sich das folgendes Gleichungssystem

(3.5.4)

Vergleich:

Ein direkter Vergleich mit Gln. 3.2.9 ergibt eine vollständige Übereinstimmung bis auf die Namen der unabhängigen Größen.

→ Lösungen sind identisch!

3.5.3 Ideale Stromquellen bei der Maschenanalyse

Problem:

Ideale Stromquellen können nicht in äquivalente Spannungsquellen umgewandelt werden. Das geht nur bei realen Quellen, wie in Abb. 3.5.4 dargestellt.

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Abbildung 3.5.4: Äquivalenz von realer Spannungsquelle und realer Stromquelle

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Lösung:

Ideale Stromquellen können dann behandelt werden, wenn Sie im Lösungsvektor eingetragen werden, also in einem Verbindungszweig des Netzes liegen (→ Baum passend wählen!).

→ Die Zeilen mit den Stromquellen im Lösungsvektor entfallen, da diese ja bekannt sind.

→ Der Rang des Gleichungssystems reduziert sich um die Anzahl der idealen Stromquellen.

→ Die unbekannten Spannungen der Stromquellen können nicht bestimmt werden.

3.5.4 Bewertung der Maschenanalyse

Bewertung:

Anwenden der Maschenstromanalyse

• POSITIV: Gegenüber den Kirchhoffschen Gleichungen müssen nur m′ Maschengleichungen gelöst werden.
• NEGATIV? Zur Aufstellung des Gleichungssystem sind keine zugrunde liegenden Gesetzte der Elektrotechnik notwendig.
• Vorhandene Stromquellen müssen in Spannungsquellen umgewandelt werden, da der Lösungsvektor keine unbekannten Quellenspannungen enthält.
• Ideale Stromquellen müssen in Verbindungszweigen sein. Sie reduzieren den Rang des zu lösenden Gleichungssystems.