Knotenanalyse

3.6 Knotenanalyse

Praxis:

Es existiert ein Verfahren mit dem das Gleichungssystem

G-⋅ U = I-

(3.6.1)

(G Leitwertmatrix, U und I Vektoren) direkt aufgestellt werden kann:

→ Das Knotenpotential-Verfahren ist das beste Verfahren zur Netzwerkanalyse. Es erstellt direkt das Gleichungssystem mit nur

k − 1 = z − m ′

(3.6.2)

Knotengleichungen.

→ Dies ist die Basis moderner Schaltungssimulationsprogramme wie SPICE³ .

Prinzip:

Die unbekannten Spannungen werden in abhängige und unabhängige Spannungen aufgeteilt.

→ Mit der Knotenanalyse werden die unabhängigen Spannungen bestimmt von einem Bezugsknoten des vollständigen Baumes zu allen anderen Knoten.

Ergebnis:

Das resultierende Gleichungssystem besteht aus (k − 1) Knotengleichungen

⌊ G G ... G ⌋ ⌊ U ⌋ ⌊ I ⌋ | 11 12 1(k−1) | | 1 | | q1 | || G21 G22 ... G2(k−1) || ⋅|| U2 || = || Iq2 || |⌈ ... |⌉ |⌈ ... |⌉ |⌈ ... |⌉ G G ... G U I (k−1)1 (k−1)2 (k− 1)(k−1) (k− 1) q(k−1)

(3.6.3)

Verfahren:

Auf der Hauptdiagonalen steht der Knotenleitwert G_ii (positive Summe aller Leitwerte in dem Knoten).
Auf den Nebendiagonalen stehen die negativen Kopplungsleitwerte G_ij.
Die unbekannten Knotenspannungen U_i stehen auf der linken Seite des Gleichungssystem.
Auf der rechten Seite steht die Summe der Quellenströme I_{q_i} des betrachteten Knotens: Positiv, wenn der Strom in den Knoten hinein fließt.

3.6.1 Beispiel zur Knotenanalyse

Umwandlung:

In dem bereits bekannten T-Netzwerk werden die realen Spannungsquellen in reale Stromquellen umgewandelt wie in in Abb. 3.6.1 zu sehen ist .

Abbildung 3.6.1: Schaltungsbeispiel zur Knotenanalyse mit umgewandelten Spannungsquellen

Matrix:

Mit k = 2 Knoten ergibt sich ein Gleichungssystem vom Rang k − 1 = 1. Es existiert also nur eine Gleichung:

[G11 ] ⋅ [U1] = [Iq1 + Iq2] [G1 + G2 + G3 ] ⋅ [U1] = [Uq1G1 + Uq2G2 ] (3.6.4)

Ergebnis:

Mit dem Ohmschen Gesetz und unter Verwendung der Widerstände anstelle der Leitwerte wird der gesuchte Strom zu

Uq1 Uq2 I = G U = -1-⋅ --R1-+--R2--- 3 3 1 R3 R1-+ R1-+ R1- 1 2 3

(3.6.5)

ergibt sich wieder der bekannte Zusammenhang

Uq1R2--+-Uq2R1- IR3 = ∑ R R i j

(3.6.6)

3.6.2 Ideale Spannungsquellen bei der Knotenanalyse

Problem:

Ideale Spannungsquellen können nicht in äquivalente Stromquellen umgewandelt werden.

Lösung:

Die allgemeine Lösung ist die Erweiterung des Verfahrens zur modifizierten Knotenanalyse.

Spezialfall:

Analog zur Maschenanalyse können ideale Spannungsquellen dann direkt behandelt werden, wenn Sie an einen gemeinsamen Knoten liegen und dieser als Bezugsknoten gewählt wird.

→ Die Zeilen mit den Spannungsquellen im Lösungsvektor entfallen, da diese ja bekannt sind.

→ Die unbekannten Ströme der Spannungsquellen können nicht bestimmt werden.

Beispiel:

Für das T-Netzwerk mit realen Spannungsquellen führen wir keine Umwandlung der realen Spannungsquellen in reale Stromquellen durch wie in in Abb. 3.6.2 zu sehen ist .

→ Mit k = 4 Knoten ergibt sich ein Gleichungssystem vom Rang k − 1 = 3, das sich auf 1 Gleichung reduziert.

Abbildung 3.6.2: Schaltungsbeispiel zur Knotenanalyse mit beibehalten der Spannungsquellen

Matrix:

Da die ersten beiden Zeilen der entstehenden Gleichung aufgrund der bekannten Quellenspannungen im Lösungsvektor gestrichen werden müssen ist die verbleibende 3. Zeile der Gleichung

⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ G1 0 − G1 Uq1 0 |⌈ 0 G − G |⌉ ⋅|⌈ U |⌉ = |⌈ 0 |⌉ 2 2 q2 − G1 − G2 G1 + G2 + G3 U3 0

(3.6.7)

identisch zu Gln. 3.6.4.

3.6.3 Automatisierung der Knotenanalyse

Verfahren:

Beschreibungdes Netzwerkverhaltens durch die Knotenspannungen (bezogen auf einen Masseknoten). Die Zweigspannungen und -ströme ergeben sich aus

den Maschengleichungen (Differenz zweier Knotenspannungen),
den Knotengleichungen und aus
den Bauelementegleichungen.

Gleichungssystem:

Mit Hilfe der Kirchhoffschen Knotengleichungen ergibt sich das Gleichungssystem

G ⋅ U = I -- -- --

(3.6.8)

mit

der Leitwertmatrix

dem Knotenspannungsvektor

dem Anregungsvektor

Netzwerk:

Gegeben sei das Netzwerk in Abb. 3.6.3 aus N Knoten mit den Zweigströmen I_jk, den Zweigspannungen U_jk und den Leitwerten G_jk.

Abbildung 3.6.3: Netzwerkausschnitt für Knotenspannungsanalyse

Voraussetzung:

Dem Knoten N_j wird der Strom I_j eingeprägt.

Frage:

Welche Spannungen U_k1 = U_k − U₁ entstehen an den Knoten N_k ?

Antwort:

Die Zweigströme werden durch die Bauelementegleichung als Funktion der Zweigspannungen dargestellt und dann in die Kirchhoffschen Knotengleichungen eingesetzt.

In die Kirchhoffsche Knotenregel

∑N Ij = Ijk k=1,k⁄=j

(3.6.9)

das Ohmsche Gesetz (Bauelementegleichung) eingesetzt

Ijk = UjkGjk = (Uj − Uk)Gjk

(3.6.10)

ergibt

∑N Ij = (Uj − Uk)Gjk k=1,k⁄=j ∑N N∑ = Uj Gjk − Uk G◟j◝◜k◞ (3.6.11) k◟=1,k⁄=◝◜j---◞ k=1,k⁄=j −gjk gjj

Matrix:

Wir können jetzt die Einträge der Bauelemente in die Leitwertmatrix definieren:

N ∑ gjj = Gjk, gjk = − Gjk = gkj k=1,k⁄=j

(3.6.12)

Setzen wir Gln. 3.6.12 in Gln. 3.6.11 ein, so erhalten wir

N∑ Ij = gjkUk oder I-= G-⋅ U k=1

(3.6.13)

Es ergibt sich ein Gleichungssystem, in dem die Knotenstromsummen I als Funktion der Knotenspannungen U dargestellt werden.

Lösung:

Die Lösung der Gleichung erhalten wir durch Inversion der Leitwertmatrix G zu:

U-= G-−1 ⋅ I-

(3.6.14)

Bemerkung:

Enthält die Schaltung nur passive Komponenten, so ist Y symmetrisch
$gjk = gkj$ (3.6.15)

Bei aktiven Schaltungen kommt es aufgrund der richtungsabhängigen Verstärkung der Schaltung zu unsymmetrischen Einträgen.
Für die Zeilen- und Spaltensummen gilt
$∑N ∑N gjk = gkj = 0 k=1 k=1$ (3.6.16)

da sowohl in den Zeilen als auch in den Spalten jeweils der gleiche Term positiv und negativ eingetragen wird.
Damit G ⋅ U = I widerspruchsfrei ist, muss Y den Rang N − 1 haben.
→ Durch Streichen der Zeile und Spalte mit der Nummer des Bezugsknotens (meistens N₀, Masse) erhält man aus der indefiniten die definite Leitwertmatrix.
Mathematisch bedeutet das, dass es unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems gibt, wenn G den Rang N hat, die sich alle durch einen additiven Term bei allen Spannungen unterscheiden. Das ist eine Eigenschaft eines Potentialfeldes, wie wir es hier für die Spannungen der Schaltung haben.

Bauelemente:

Im folgenden werden die automatisierten Einträge der Bauelemente in die Leitwertmatrix und dem Anregungsvektor gezeigt.

Leitwerte:

Der Eintrag eines Leitwertes (siehe Abb. 3.6.4) erfolgt in die normale Leitwertmatrix.

⌊ ... ... ... ...⌋ ⌊ ...⌋ ⌊ ...⌋ i | ... +G − G ...| | U | | I | || i j || ⋅|| i || = || i || j ⌈ ... − Gi +Gj ...⌉ ⌈ Uj ⌉ ⌈ Ij ⌉ ... ... ... ... ... ...

Abbildung 3.6.4: Eintrag eines Leitwertes bei der Knotenanalyse

Der Eintrag in der Zeile i

GiUi − GjUj = G ⋅ (Ui − Uj) = G ⋅ Uij = Ii

(3.6.17)

bedeutet, dass aus dem Knoten N_i der Strom I_i heraus fließt. Aus dem Knoten N_j fließt der Strom −I_i heraus, bzw. der Strom I_i hinein.

Stromquelle:

Eine Stromquelle wird mit dem Konstantstrom in den Anregungsvektor eingetragen.

→ Liegt einer der Anschlüsse eines Bauelements am Bezugsknoten (N₀, Masse), so entfallen die Eintragungen in den entsprechenden Zeilen und Spalten.

Spannungsquelle:

Die Bauelementegleichung einer Spannungsquelle lautet

Uq ⁄= Iq

(3.6.18)

d.h. die Quellenspannung ist keine Funktion des Stromes (Konstantspannungsquelle):

→ Es ist kein Eintrag von Spannungsquellen möglich, da kein Zweig, für den der Strom nicht durch eine Bauelementegleichung als konstanter Wert oder als Funktion einer Zweigspannung gegeben ist, verarbeitet werden kann.

→ Abhilfe schafft die modifizierte Knotenspannungsanalyse.

3.6.4 Modifizierte Knotenanalyse

MNA:

Die modifizierte Knotenspannungsanalyse (Modified Nodal Analysis) ist eine Erweiterung der normalen Knotenspannungsanalyse mit:

zusätzlichen Zeilen und Spalten für Bauelemente, deren Strom nicht durch eine normale Bauelemente-Gleichung ausgedrückt werden kann
→ Spannungsquelle.

Verfahren:

Der zunächst noch unbekannte Strom wird ein zusätzliches Element des Ergebnisvektors:

Die Kirchhoffsche Knotengleichung wird durch +1 und −1 Eintrag in der Spalte erfüllt.
Die Bestimmungsgleichung für die zusätzliche Unbekannte im Ergebnisvektor erhält man aus der Bauelementegleichung.

Spannungsquelle:

Der Eintrag einer Spannungsquelle (siehe Abb. 3.6.5) erfolgt in die erweiterte Leitwertmatrix.

⌊ 1 ⌋ ⌊ U ⌋ ⌊ I ⌋ | | | i | | i | ⌈ − 1 ⌉ ⋅⌈ Uj ⌉ = ⌈ Ij ⌉ 1 − 1 0 Iq Uq

Abbildung 3.6.5: Eintrag einer Spannungsquelle bei der MNA

Für jede Spannungsquelle ist die Matrix G um eine Zeile und Spalte zu vergrößern. Die Bauelementegleichung lautet:

Uij + 0 ⋅ Iq = Uq

(3.6.19)

3.6.5 Beispiel zur modifizierten Knotenanalyse

Knoten:

In dem T-Netzwerk werden die Knoten nummeriert wie in in Abb. 3.6.6 zu sehen ist .

Abbildung 3.6.6: Schaltungsbeispiel zur modifizierten Knotenanalyse

Matrix:

Mit Bezugsknoten N₀ ergibt sich folgendes Gleichungssystem

⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ G1 0 − G1 1 0 U1 0 || 0 G − G 0 1 || || U || || 0 || || 2 2 || || 2 || || || || − G1 − G2 G1 + G2 + G3 0 0 || ⋅|| U3 || = || 0 || ⌈ 1 0 0 0 0 ⌉ ⌈ Iq1 ⌉ ⌈ Uq1 ⌉ 0 1 0 0 0 Iq2 Uq2

(3.6.20)

Kontrolle:

Wie kann man das Gleichungssystem elektrotechnisch überprüfen?

3.6.6 Bewertung der Knotenanalyse

Bewertung:

Anwenden der Knotenanalyse

POSITIV: Im Allgemeinen verwendet die Knotenanalyse die wenigsten Gleichungen.
NEGATIV: Vor der Aufstellung des Gleichungssystem sind einige Umwandlungen notwendig.
Ideale Spannungsquellen können bei der Knotenanalyse nur verarbeitet werden, wenn sie einen gemeinsamen Knoten haben. Sie reduzieren dann aber den Rang des zu lösenden Gleichungssystems um die Anzahl der idealen Spannungsquellen.
Das Verfahren lässt sich zur modifizierten Knotenanalyse erweitern, bei dem alle Bauelemente eingetragen werden können.

3.6.7 Vergleich am Beispiel Brückenschaltung

Beispiel 3.6.1 (Brücke)

Gegeben sei eine Wheatstonesche Brückenschaltung mit den Werten R₁ = 1 kΩ, R₂ = 1 kΩ, R₃ = 1 kΩ, R₄ = 10 kΩ und U₀ = 10 V.

Bestimmen Sie analytisch die Brückenspannung U₅ unter der Voraussetzung, dass R₅ = ∞ ist.
Bestimmen Sie analytisch den Brückenstrom I₅ bei endlichem Widerstand R₅.
Wie groß ist die Brückenspannung U₅ bei R₅ = ∞?
Wie groß ist der Brückenstrom I₅ bei R₅ = 10 kΩ?
Berechnen Sie zur Kontrolle den Zahlenwert des Brückenstromes direkt mit der Knotenanalyse!

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:

Brückenspannung
$( ) U = U ---R1R4--−-R2R3----- 5 --0--(R2-+-R4-)(R1-+-R3-)- --------------------------$
Brückenspannung $( / / / / ) U = 10V ⋅ --1/k-Ω-⋅ 10/k-Ω-−-1/k-Ω-⋅ 1/k-Ω = 4,1 V 5 (1//kΩ + 10//kΩ )(1//kΩ + 1/k/Ω ) -----$
Brückenstrom
$(1/k/Ω ⋅ 10/k/Ω − 1/k/Ω ⋅ 1/k/Ω ) ⋅ 10V I5 = -------------------/------/------⋅⋅⋅ (1 kΩ + 1 kΩ )[1/kΩ ⋅ 10/kΩ+ ⋅⋅⋅------------------------------------------------ 10/k/Ω(1//kΩ + 10//kΩ )] + 1/k/Ω ⋅ 1/k/Ω (1k Ω + 10 kΩ) = 0,3585 mA -----------$

³SPICE bedeutet Simulation Program Integrated Circuits Especially! Der Kern des Programms stammt von der Berkeley Universität in Kalifornien.

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