3.2 Kirchhoffsche Gleichungen

Aufgabe:

Gegeben sei ein Netz aus Abb. 3.2.1 mit zwei Spannungsquellen. Der Strom I₃ durch den Widerstand R₃ soll analytisch bestimmt werden!

→ Reichen die bekannten Methoden aus? Ja!

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Abbildung 3.2.1: T-Netzwerk mit zwei Spannungsquellen

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Lösung:

Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Gleichungen zur Bestimmung der 6 Unbekannten:

• 3 Spannungen U₁, U₂ und U₃ und
• 3 Ströme I_R1, I_R2 und I_R3.

Aufgabe:

Für die 6 Unbekannten werden 6 unabhängige Gleichungen benötigt. Wie findet man sie?

Netzwerk:

Ein elektrisches Netzwerk besteht aus z Zweigen, die an den k Knoten miteinander verbunden sind und somit m Maschen bilden. In Abb. 3.2.2 sind für die Schaltung aus Abb. 3.2.1 Zweige, Knoten und Maschen gezeichnet.

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Abbildung 3.2.2: Darstellung von Zweigen, Knoten und Maschen

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• An einem Knoten sind mindestens 3 Zweige angeschlossen.
• Ein Zweig verbindet 2 Knoten miteinander wobei alle Bauelemente vom selben Strom durch flossen werden.
• Eine Masche ist ein geschlossener Weg über Zweige und Knoten.

Frage 1:

Wie viele Zweige, Knoten und Maschen enthält die Beispielschaltung aus Abb. 3.2.1 ?

• Zweige: z = 3, zwischen je zwei Punkten
• Knoten: k = 2, die beiden schwarzen Punkte
• Maschen: m = 3, links, rechts und außen herum

→ Damit ergeben sich 2 Knotengleichungen, 3 Maschengleichungen und 3 Gleichungen aus dem Ohmschen Gesetz, also 8 Gleichungen für 6 Unbekannte.

Frage 2:

Welche der 8 Gleichungen sind linear unabhängig?

• Aus dem Ohmschen Gesetz für jeden Zweig ergeben sich z = 3 unabhängige Gleichungen.
• Bei k = 2 Knoten ist k − 1 = 1 Knotengleichung linear unabhängig.
• Also müssen von den Maschengleichungen

  (3.2.1)

  unabhängig sein!

Frage 3:

Wie findet man alle linear unabhängigen Maschengleichungen?

→ In dem einfachen Beispiel kann eine beliebige der 3 Maschen weggelassen werden.

Praxis:

Eine praktische Methode zur Auswahl unabhängiger Maschen ist:

Nach Auswahl einer Masche trennt man diese Masche in einem beliebigen Zweig auf. Weitere Maschen dürfen keine aufgetrennten Zweige enthalten. Es werden so viele Maschen gebildet wie möglich sind.

3.2.1 Beispiel zu den Kirchhoffschen Gleichungen

Ohmsches Gesetz:

3 Gleichungen

(3.2.2)

Maschenregel:

2 Gleichungen

Knotenregel:

1 Gleichung

(3.2.4)

Mathematik:

Zur Berechnung der Zweigströme erhält man ausgehend von den Maschengleichungen

(3.2.5)

Mit dem Ohmschen Gesetz folgt

(3.2.6)

Mit der Knotengleichung kann der Strom I₃ eliminiert werden

(3.2.7)

Ordnet man diese Gleichungen nach den beiden Unbekannten, so ergibt sich folgendes Gleichungssystem

(3.2.8)

oder in Matrizenschreibweise

(3.2.9)

Ergebnis:

Die Untersuchung eines linearen Netzes führt zu einem linearen Gleichungssystem für die Unbekannten (Ströme), das nun nur noch aufgelöst werden muss.

→ Anwenden mathematischer Methoden, heute mit Taschenrechner direkt lösbar.

Matrizen:

Für alle, die noch keine Matrizenrechnung kennen kommt hier die minimal notwendige Mathematik. Die Schreibweise mit der 3×3-Matrix¹

(3.2.10)

ist nur eine verkürtzte Schreibweise für das Gleichungssystem mit den drei Gleichungen

in der beispielhaft die Elemente R_ij der Matrix mit den Komponenten I_j des Ergebnisvektors multipliziert werden.

Rang:

Das lineare Gleichungssystem

(3.2.14)

ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Rang der Matrix R gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix ist. Dann ist aber auch die Determinate der Matrix ungleich Null.

→ Alle Gleichungen sind linear unabhängig!

Determinaten:

Die Determinante einer 3 × 3-Koeffizientenmatrix R berechnet sich aus dem Produkt der Hauptdiagonalen minus dem Produkt der Nebendiagonalen zu

Gauß:

Für die Lösung des linearen Gleichungssystems 3.2.8 mit dem gaußschen Eliminationsverfahren wird die Koeffizientenmatrix in Dreiecksform gebrach.

Wir multiplizieren daher die 1. Zeile mit (R₂ + R₃) und die 2. Zeile mit R₃

(3.2.16)

Wenn wir nun die 2. Zeile von der 1. subtrahieren

(3.2.17)

1. Strom:

erhalten wir nun den 1. Teilstrom zu

(3.2.18)

Für die Berechnung des 2. Teilstromes multiplizieren wir nun die 1. Zeile mit R₃ und die 2. Zeile mit (R₁ + R₃)

(3.2.19)

Wenn wir nun die 1. Zeile von der 2. subtrahieren

(3.2.20)

2. Strom:

erhalten wir den 2. Teilstrom zu

(3.2.21)

Der gesuchte Strom I_R3 ist dann die Summe dieser beiden Ströme

(3.2.22)

3.2.2 Bewertung der Kirchhoffschen Gleichungen

Bewertung:

Anwenden der Kirchhoffschen Gleichungen

• POSITIV: Es ist das allgemeinste Verfahren zur Bestimmung aller Unbekannten und ist immer einsetzbar.
• Es sind maximal z Knoten- und Maschen-Gleichungen zu lösen. Zusätzlich werden z Ohmsche Gleichungen verwendet.
• NEGATIV: Es sind immer alle z Gleichungen notwendig, auch wenn im Extremfall nur ein Strom oder eine Spannung gesucht wird.
• Alle anderen Verfahren basieren ebenfalls auf den Kirchhoffschen Gleichungen.