Parallelschaltung

17.4 Parallelschaltung

Dualität:

Die Dualitätsbeziehungen zwischen einer Parallelschaltung und einer Reihenschaltung führen zu ähnliche Ortskurven:

Geraden für Leitwert und Strom einer Parallelschaltung $I = Y-⋅ U-$ oder Widerstand und Spannung einer Reihenschaltung $U-= Z- ⋅ I-$
Kreise für Widerstand und Spannung einer Parallelschaltung $U-= I- Y-$ oder Leitwert und Strom einer Reihenschaltung $U- I-= -- Z-$

Kurven:

Für Parallelschaltung aus Widerstand und Blindwiderstand. Zum Nachrechnen der Kurven aus Abb. 17.4.1 sind R = 1Ω und X = 1Ω zu setzen. Für den Parameter p wurde −10 ≤ p ≤ 10 gewählt, wobei die Gerade des Leitwertes nur für |p|≤ 0,6 dargestellt ist.

Ortskurve $Y-(p) = G + jpB0$
→Gerade
Ortskurve $--1-- Z(p) = Y-(p)$
→Kreis

Abbildung 17.4.1: Ortskurven einer GB-Parallelschaltung mit dem Blindleitwert als Parameter

Beides:

Kombinationen von Reihen- und Parallelschaltungen liefern entsprechend komplexere Ortskurven:

→Y = f(pf₀) = (R + L)||C und Z = 1∕Y .

AUFGABE:

Bitte nicht aus dem Script ablesen, sondern selber herleiten:

Zeichnen Sie die Schaltung auf!
Geben Sie folgende Admittanzen und Impedanzen der Schaltung an ohne eine Berechnung durchzuführen:
- Y (p = 0) =
- Y (p = ∞) =
- Z(p = 0) =
- Z(p = ∞) =

Ergebnis:

Numerisch können diese Kurven z.B. direkt mit gnuplot unter Linux erstellt werden. Eine einfache zeichnerische Methode zur Konstruktion⁵ von Ortskurven verwendet das nachfolgend beschriebene Verfahren der Inversion von Ortskurven.

Zum Nachrechnen der Kurven aus Abb. 17.4.2 hier die Bauelementewerte R = 400 Ω, L = 0,1 H und C = 50 nF und der Frequenzbereich 40 Hz ≤ f ≤ 20 kHz.

a) Admittanz Y = f(pf₀)

b) Impedanz Z = f(pf₀)

Abbildung 17.4.2: Ortskurven einer Reihen-Parallel-Schaltung mit der Frequenz als Parameter

Werte:

Das Ermitteln der Parameterwerte entlang der Kurve wird in den Übungen behandelt. Dabei kann es aber auch vorkommen, dass diese Werte selbst bei einfacher Kurvenform nur durch numerische Berechnungen bestimmt werden können:

→Z(pf₀) = R₁ + Z₂(pf₀) mit Y ₂(pf₀) = R₂||C₂||L₂. ⁶

Abbildung 17.4.3: Ortskurve einer LC-Parallel-Schaltung

AUFGABE:

Bitte aus der Ortskurve ablesen:

Welchen Zahlenwert hat der Widerstand R₁?
- R₁ =
Bei welchen Frequenzen kann man den Zahlenwert für R₁ aus der Ortskurve ablesen?
- f₁ =
- f₂ =
Welchen Zahlenwert hat der Widerstand R₂?
- R₂ =
Bei welcher Frequenz kann man den Zahlenwert für R₂ aus der Ortskurve ablesen?
- f₃ =
Welche Bedeutung hat diese Frequenz für die Schaltung?

⁵Die dargestellte Ortskurve Y (p) lässt sich als grafische Addition der beiden Ortskuren Y _RL(p) (-> Kreis) und Y _C(p) (-> Gerade) konstruieren.

⁶Zum Nachrechnen der Kurven aus Abb. 17.4.3 hier die fehlenden Bauelementewerte L₂ = 0,1H und C₂ = 1µF. Diese Kurve wurde ebenfalls mit gnuplot unter Linux erstellt. Sie ist eine Übungsaufgabe.

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