Leitungsgleichungen

Ende:

Zur Herleitung der Leitungsgleichungen führen wir die Spannungen und Ströme am Leitungsende ein

U- = U- und I-= I- für x = l (15.6.1) 2 2

und setzen diese in die Spannungsgleichung 15.4.3 ein

U-2 = A1 ⋅ e−γl + A2 ⋅ e γl

(15.6.2)

und in die Stromgleichung 15.4.5 ein

I Z = A ⋅ e−γl − A ⋅ eγl -2-w 1 2

(15.6.3)

Durch Addition und Subtraktion erhalten wir

1 γl A1 = -(U-2 + I2Zw ) ⋅ e 21 A2 = -(U-2 − I2Zw ) ⋅ e− γl (15.6.4) 2

Anfang:

Entsprechend ergibt sich am Leitungsanfang

U- = U-1 und I = I1 für x = 0 (15.6.5)

aus der Spannungsgleichung

U = A + A -1 1 2

(15.6.6)

und aus der Stromgleichung

-A1 A2- I1 = Z − Z -w -w

(15.6.7)

Ergebnis:

Einsetzen der Beziehungen für das Leitungsende liefert die Leitungsgleichung der Spannung

U-1 = 1(U-2 + I2Zw ) ⋅ eγl + 1(U-2 − I2Zw ) ⋅ e−γl 2 2 1- γl − γl 1- γl − γl = U2 ⋅2 ⋅ (e + e )+I2Zw- ⋅2 ⋅ (e − e ) ◟-----◝◜-----◞ ◟-----◝◜-----◞ coshγl sinhγl = U2 coshγl + I2Zw sinh γl (15.6.8)

und des Stromes

1 γl 1 − γl I1 = -----(U2 + I2Zw ) ⋅ e − -----(U-2 − I2Zw ) ⋅ e- 2Zw 2Zw = -U2 ⋅ 1-⋅ (eγl − e−γl)+I ⋅ 1-⋅ (eγl + e−γl) Zw 2◟-----◝◜------◞ 2- 2◟-----◝◜-----◞ sinhγl coshγl - - = -U2 sinh γ l + I coshγl (15.6.9) Zw -- -2 --

Vierpol:

Die Leitungsgleichungen sind Vierpolgleichungen in Kettenform⁵ mit

U-1 = A11U--2 + A12I2 I1 = A21U--2 + A22I2 (15.6.10)

mit

A11 = cosh γl = A22 A12 = Zw sinh γl 1 A21 = ---sinh γl- (15.6.11) Zw

⁵Vierpoldeterminante gleich 1 und A₁₁ = A₂₂ da richtungssymmetrischer Vierpol