Umwandlung komplexer Widerstände

Exponentialform:

Die Impedanz der Reihenschaltung

ZS = Zej φZ

(7.5.1)

und die Admittanz der Parallelschaltung

Y-P = Y ejφY

(7.5.2)

sind äquivalent für eine feste Frequenz f, d.h. es gilt

jφZ -1-- --1--- 1- −jφY ZS = Ze = Y = Y ejφY = Y e --P

(7.5.3)

wenn für ihre Beträge

1 Z = -- Y--

(7.5.4)

und ihre Phasenwinkel

φZ = −-φY- -----

(7.5.5)

gilt.

Komponentenform:

Die Impedanz der Reihenschaltung

ZS = RS + jXS

(7.5.6)

und die Admittanz der Parallelschaltung

Y-P = GP + jBP

(7.5.7)

sind äquivalent für eine feste Frequenz f, d.h. es gilt

1 1 GP − jBP ZS = RS + jXS = ----= ---------- = --2-----2-- YP GP + jBP G P + B P

(7.5.8)

wenn für den Realteil

RS = ---GP---- G2P +-B2P--

(7.5.9)

und den Imaginärteil

X = --−-BP--- S G2P-+-B2P- ----------

(7.5.10)

gilt.

Komplex:

Aus der Impedanz der Reihenschaltung

ZS = RS + jXS

(7.5.11)

mit den Bauelementen R_S, C_S oder L_S in Reihenschaltung erhalten wir direkt die Admittanz der Parallelschaltung

1 Y-P = ---= GP + jBP ZS

(7.5.12)

mit den Bauelementen R_P = 1∕G_P, C_P oder L_P in Parallelschaltung.

Umwandlung:

Schaltungsgleichheit der Stern- und Dreieckschaltung in Abb. 7.5.1 bedeutet, dass die Impedanzen zwischen je zwei Knoten identisch sind.

Abbildung 7.5.1: Stern-Dreieck-Umwandlung komplexer Widerstände

ESB:

Bei der komplexen Stern-Dreieck-Umwandlung handelt es sich um eine Ersatzschaltung zur Berechnung des Betriebsverhaltens eines realen Netzwerkes.

→ Die Impedanzen nach der Transformation können negative Realteile haben. Sie sind dann technisch nicht realisierbar.

Äquivalenz:

Formell sich entsprechende Größen können bei der Berechnung von Wechselstromnetzwerken in den Formeln für Gleichstromnetzwerke ersetzt werden.

Impedanz:

Entsprechend der Dreieck-Stern-Transformation wird für Δ → Y

Z13Z23 Produkt der Anliegerimpedanzen Z30 = Z---+-Z---+-Z---= ---Maschenumlau--fimpedanz------ -12 -23 -13

(7.5.13)

Admittanz:

Analog zur Stern-Dreieck-Transformation wird für Y → Δ

Y- Y- Produkt der Anliegeradmittanzen Y-13 = ------10-30------= ------------------------------- Y10 + Y-20 + Y-30 Knotenadmittanz

(7.5.14)