Admittanz

Admittanz:

Der allgemeine komplexe Leitwert (Admittanz) enthält ebenfalls reele (Konduktanz) und imaginäre (Suszeptanz) Anteile.

Abbildung 7.3.1: Leitwert, Spule und Kondensator parallel: (a) Schaltbild, (b) Zeigerdiagramm für Leitwerte

Zeiger:

Wir erhalten damit für eine Parallelschaltung der 3 idealen Zweipole nach Abb. 7.3.1

Y- = Y-G + Y-C + Y-L = G + jBC( + jBL ) ) -1- = G + j ωC − ωL (7.3.1) ◟----◝B◜----◞ B

Betrag:

∘ -------------------- Y = |Y-| = G2 + (ωC − 1 ∕ωL )2

(7.3.2)

Phasenwinkel:

φ = arctan Im-{Y-}-= arctan ωC--−-1∕ωL-- Re {Y-} G

(7.3.3)

Reeller Leitwert:

G = Re {Y } = Y cos φ --

(7.3.4)

Imaginärer Blindleitwert:

BB = Im {Y-} = Y sinφ

(7.3.5)

Bemerkung:

Da die beiden Blindleitwerte B_L und B_C verschiedene Vorzeichen haben, unterscheidet man:

Schaltbild:

An der RLC-Parallelschaltung liegt dieselbe Spannung:

→ Als Bezugszeiger wird die Spannung U gewählt.

Teilströme:

Nach der Kirchhoffschen Knotenregel und dem Ohmschen Gesetz gilt:

I- = IG + IC + IL = U-⋅ YG + U-⋅ Y-C + U-⋅ Y-L = U-(G + jωC − j ∕ωL ) (7.3.6)

Admittanz:

Division durch die Spannung U ergibt identisch

I- ( 1 ) Y- = --= G + j ωC − --- = Y ⁄ φ U- ωL

(7.3.7)

Leistungen:

Beachten: Rechenregeln für komplexe Zahlen! Bezugszeiger Spannung.

S- = I∗ ⋅ U-= U 2Y-∗ = I2∕Y (7.3.8) S = U ⋅ I (7.3.9) P = Re {S} = IGU = U2G = I2G∕G (7.3.10) 2 2 Q = Im {S-} = IBU = U BB = IB∕BB (7.3.11)

Ströme:

Es ergeben sich ähnliche Dreiecke für die Teilströme wegen

2 2 2 S = P + Q (UI)2 = (UIG )2 + (U IB)2 2 2 2 I = IR + IB (7.3.12)

Leitwerte:

Es ergeben sich ähnliche Dreiecke für die Leitwerte wegen

S2 = P2 + Q2 2 2 2 2 2 2 (U Y ) = (U G ) + (U BB ) Y 2 = G2 + B2B (7.3.13)

Scheinleitwerte:: Gegeben seien n Admittanzen Y _i = G_i + jB_i , i = 1,n in Parallelschaltung nach Abb. 7.3.2 .

Abbildung 7.3.2: Addition von beliebigen Scheinleitwerten bei einer Parallelschaltung: (a) Schaltbild, (b) Zeigerdiagramm für Leitwerte
Addition:: Mit den Rechenregeln der komplexen Zahlen folgt
$Y- = Y-1 + Y-2 + ...+ Yn = G1 + G2 + ...+ Gn + j(B1 + B2 + ...+ Bn ) ∑n ∑n = Gi + j Bi (7.3.14) i=1 i=1$
mit B_i = B_{C_i} = ωC_i oder B_i = B_{L_i} = −1∕ωL_i

Beispiel 7.3.1 (Scheinwiderstand)

Gegeben sei die Schaltung mit den Werten L₁ = 0,2 H, C₂ = 1 µF, R₂ = 300 Ω, R₃ = 250 Ω und U₁ = 15 V bei 400 Hz.

Bestimmen Sie die Impedanz Z (komplexer Ersatzwiderstand) zwischen den Klemmen 1 und 2!
Welchen Strom I nimmt die Schaltung auf?
Welchen Phasenwinkel hat der Eingangstrom I gegen die Eingangsspannung U?
Wie groß ist die Dämpfung v = U₂∕U₁?
Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der Spannungen!
Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der Ströme!

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:

$Z1234 = Z3 + Z2 + Z1 = 250Ω + (191,3 − j144,1)Ω + j502,7Ω ⁄ ∘ = (441,3-+-j358,6)Ω--= (568,6Ω-- 39,1-)$
$-U--- -----15-V------ ∘ I-= Z = (568,6Ω ⁄ 39,1∘) = (26,38mA-⁄ −-39,1-) -123$
$∘ φU,I = −-39,1$
$v = U2-= 6,32V--= 0,42 U1 15V ----$