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9.5 Komplexe Fourierreihen

Ausblick:

Die komplexe Fourierreihe ist die mathematische Grundlage der Einführung der Fourier- und Laplace-Transformationen!

Euler:

Mit Hilfe der Euler-Gleichungen (Papula, 2006, Seite 221)

ejφ = cosφ + j sin φ , e− jφ = cosφ − j sin φ
(9.5.1)

ergibt sich für die Kosinus- und die Sinusfunktion durch Addition bzw. Subtraktion

cos φ = 1-(ejφ + e− jφ ) , sin φ = 1-(ejφ − e−jφ) 2 2j
(9.5.2)

Unendlich:

Setzt man diese Ergebnisse in die Fourierreihe nach Gln. 9.3.10 ein und lässt die Anzahl n →∞ gehen, so ergibt sich

∑∞ a f(t) = a0 + -ν(ejνωt + e− jνωt) ν=1 2 ∑∞ bν jνωt − jνωt + --(e − e ) (9.5.3) ν=1 2j
Durch sortieren nach den Exponentialtermen
Fertig:

und entsprechendes Zusammenfassen wird daraus5

∞ ∑ 1- jνωt f(t) = a0 + ν=1 2(aν − jbν)e ∞ + ∑ 1(a + jb )e−jνωt (9.5.4) ν=1 2 ν ν
Koeffizienten:

Die komplexen Koeffizienten lassen sich mit den Fourierkoeffizienten nach Gln. 9.4.13 und 9.4.14 darstellen als

c = 1( a − j b ) -ν 2 ◟◝ν◜◞ ◟◝ν◜◞ 9.4.13 9.4.14 1 to∫+T = -- f(t)[cos(νωt) − j sin(νωt )]dt T t0 ◟---------◝◜---------◞ t +T mit Gln.9.5.1 1 o∫ −jνωt = -- f(t)e dt (9.5.5) T t0
und ebenso
1 1 to∫+T c∗ν = --(aν + jbν) = -- f(t)ejνωtdt (9.5.6) 2 T t0
Gleichanteil:

Für den Index ν = 0 ergibt sich für beide komplexen Koeffizienten

to∫+T ∗ 1- c0 = c0 = T f(t)dt = a0 t0
(9.5.7)

was entsprechend Gln. 9.4.12 dem Gleichanteil entspricht.

Zusammen:

Aus den Definitionsgleichungen der komplexen Koeffizienten ist zu sehen, dass cν∗ = 1 2(aν + jbν) zu cν = 1 2(aν − jbν) wird, wenn die Laufvariable ν durch −ν ersetzt wird.

Komplex:

Damit lassen sich die drei Terme der Gln. 9.5.4 zur komplexen Fourierreihe zusammenfassen

∑∞ f(t) = cνejνωt ν=−∞
(9.5.8)

mit den komplexen Koeffizienten

1 to∫+T cν = -- f (t)e−jνωtdt T t0
(9.5.9)

Beispiel 9.5.1
(Fourierkoeffizienten)

Es sind die Fourierkoeffizienten der Rechteckfunktion in Abb. 9.5.1 aus den komplexen Koeefizienten der komplexen Fourierreihe zu berechnen!

PIC

Abbildung 9.5.1: Komplexe Fourieranalyse einer rechteckförmigen Stromfunktion

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind die resultierenden komplexen Koeffizienten

− j2ˆi cν = ----- , ν = ...− 3, − 1,1,3,... --νπ--

5Dabei wird aus 1∕j durch erweitern mit j∕j der Term j∕ − 1 = −j.

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