Jede periodische Zeitfunktion, für die
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gilt, mit der Periodendauer T und ganzen Zahlen n, kann aus der Überlagerung von Sinusschwingungen passender Frequenz und Phasenlage und eines Gleichanteils erzeugt werden.
→ Die Addition von (ungeraden) Kosinusschwingungen passender Amplitude und Frequenz ergibt eine Rechteckschwingung.
Die passenden Amplituden des Beispiel sind aν = 4 ⋅ 2A∕νπ,ν = 1,5,9 und aν = −4 ⋅ 2A∕νπ,ν = 3,7,11 für die Funktionen fν(t) = aν cos(νωt) gewesen.
Die Umkehrung der Überlagerung führt zu folgender Aussage:
→ Jede periodische Zeitfunktion kann dargestellt werden als eine Summe von Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz und Phasenlage und eines Gleichanteils.
Finden eines Rechenverfahrens mit deren Hilfe eine vorgegebene Zeitfunktion f(t) in optimaler Weise durch eine Funktion g(t) angenähert werden kann.
→ Es wird ein geeigneter Funktionstyp und ein Optimierungskriterium benötigt!
Zur Approximation der Originalfunktion f(t) durch die Näherungsfunktion g(t) müssen beide Funktionen dieselbe Periodendauer T aufweisen, damit in jeder Periode T die Näherung identisch ist. Dann dürfen nur sinusförmige Funktionen verwendet werden, deren Frequenz ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz ist.
→ Es bleibt aber die Frage: Wann ist die Näherung optimal?
Die Beurteilung der Güte der Näherung führt auf den Approximationsfehler
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im betrachteten Zeitbereich, also der Periodendauer T bei periodischen Funktionen.
Von den möglichen Kriterien
- Minimieren des mittleren linearen Fehlers δ oder
- Minimieren des mittleren Fehlerquadrates δ2
wird in der Praxis als Kriterium das kleinste mittlere Fehlerquadrat
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verwendet, da sich beim linearen Fehler positive und negative Fehleranteile aufheben.
Die periodische Zeitfunktion f(t) in Abb. 9.2.2 ist die Summe der 3 Funktionen 3 sin(ωt) + 2 sin(2ωt) + sin(3ωt). Bei der Näherungsfunktion g(t) wurden dagegen nur die ersten beiden Summanden berücksichtigt.
