Spule

6.4 Spule

Strom:

Bei der Spule (siehe Abb. 6.4.1) setzen wir aufgrund der einfacheren mathematischen Behandlung einen kosinusförmigen Strom voraus

iL = −ˆi cosωt

(6.4.1)

Abbildung 6.4.1: Spannung und Strom bei der Spule

Zeit:

Wir erhalten die Spannung⁵ zu

diL- -d ˆ uL = L dt = L dt(− icos ωt) ˆ ˆ = L ωisin ωt = Lω icos(ωt − π∕2 ) = ˆu sinωt = uˆcos(ωt − π∕2 ) (6.4.2)

Zeiger:

Mit dem Spannungszeiger U_L als Bezugszeiger weist der Stromzeiger I_L in die Richtung der negativen imaginären Achse.

U = LdIL- = L d-I ejωt = jωLI -L dt dt L L-

(6.4.3)

→ Die Spannung U_L eilt dem Strom I_L um 90∘ voraus. (Negative Amplitude →−180∘ und −90∘ Phasenwinkel.) In der Zeigerdarstellung entspricht dieses einer Multiplikation mit j.

Widerstand:

Wir führen wieder die induktive Impedanz mit dem induktiven Blindwiderstand ein

U-L = ZLIL- = jXLIL-- = jωLIL- (6.4.4)

mit Betrag und Phasenwinkel

ZL = jXL = jωL = (|XL |⁄-90∘)

(6.4.5)

Leitwert:

Wir erhalten dann ebenso die induktive Admittanz mit dem induktiven Leitwert

IL = Y-LU-L = --1--U- ⋅ j jXL L j 1 = − j---U-L ωL = jBLU--L (6.4.6)

mit Betrag und Phasenwinkel

Y- = jB = − j-1- = (|B |⁄ − 90∘) L L ωL L

(6.4.7)

Kehrwerte:

Damit erhalten wir für den induktiven Blindwiderstand und den induktiven Blindleitwert ebenfalls

-1-- -1- BL = − X = − ωL L

(6.4.8)

Frequenz:

Blindwiderstand X_L und Blindleitwert B_L sind auch hier entsprechend Abb. 6.4.2 eine Funktion der Kreisfrequenz ω (Bedeutung → Nachrichten- und Regelungstechnik).

Abbildung 6.4.2: Phasenwinkel und Frequenzgang des induktiven Blindleitwerts und Blindwiderstands

→ Der Widerstand wächst proportional zur Kreisfrequenz von Null an. Der Leitwert geht von sehr großen negativen Werten aus gegen Null.

→ Die Phasenwinkel φ_B und φ_X zwischen Strom und Spannung sind konstant, d.h. keine Funktion der Kreisfrequenz.

6.4.1 Induktive Blindleistung

Leistung:

Jeweils nach 90^∘ ist entweder i = 0 oder u = 0 Null, so dass dann auch die Leistung Null wird. (Siehe Abb. 6.4.3, analog zum Kondensator.)

Abbildung 6.4.3: Induktive Blindleistung bei der Spule

→ Definition der induktiven Blindleistung (X_L > 0) zu

QL = U I = U 2∕XL = I2XL > 0

(6.4.9)

Einheit:

Die Einheit der Blindleistung war „Voltampere reactive“ (Var).

Schwingung:

Es entsteht eine Leistungsschwingung:

T/4 bis T/2: Die Spule wird vom Generator aufgeladen mit der Energie
$T∫∕4 T∫ ∕4 ∫ˆi W = i u dt = i L diL-dt = L i di = 1-Lˆi2 L L L dt L L 2 0 0 0$ (6.4.10)
T/2 bis 3T/4: Die Spule entlädt die eben aufgenommene Energie in den Generator zurück.
3T/4 bis T: Der Generator liefert die Energie bei umgekehrtem Vorzeichen von Strom und Spannung.
T bis 5T/4: Die Energie fließt wieder in den Generator zurück.

Wirkleistung:

Auch bei der idealen Spule geht keine Energie verloren, sondern sie pendelt zwischen Generator und Induktivität hin und her.

→ Die Wirkleistung bei der Spule ist damit

P = 0

(6.4.11)

Beispiel 6.4.1 (RC-Reihe)

Ein Lötkolben für 110 V und 30 W soll am Lichtnetz 220 V und 50 Hz angeschlossen werden. Um Wirkleistung einzusparen, wird kein Vorwiderstand verwendet, sondern die Überspannung durch einen Kondensator übernommen. Berechnen Sie folgende Größen:

Strom durch die Schaltung
Scheinleistung und Blindleistung
Spannungsabfall am Kondensator
Kapazität des Kondensators
Phasenwinkel und Leistungsfaktor und
Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm

Lösung:

Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen Lösung sind:

$PR- 30-W-- I = UR = 110V = 0,273 A$
$S = U I = 220V ⋅ 0,273A = 60-V-A- -------$
und
$√ -------- ∘ -------------------- Q = − S2 − P 2 = − (60V A )2 − (30 W )2 = −-52-Var$
$UC = Q-= −-52Var- = − 190,5V I 0,273 A ---------$
$C = − ----1---- = 4,56 µF 2πf ⋅ XC -------$
$φ = −-60∘ -----$
und
$λ = cosφ = cos(− 60 ∘) = 0,5$

⁵Dieses ist die Bauelementegleichung der Spule!

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