Kondensator

6.3 Kondensator

Strom:

Wenn am Kondensator (siehe Abb. 6.3.1) die Spannung u anliegt, erhalten wir den Strom² zu

duC iC = C ---- dt

(6.3.1)

Abbildung 6.3.1: Spannung und Strom beim Kondensator

Zeit:

Für eine sinusförmige Spannung u_C = û sin ωt ergibt sich

d- iC = C dt(ˆusin ωt) = Cω ˆu cosωt

(6.3.2)

Mit der mathematischen Beziehung cos ωt = sin(ωt + π∕2) wird daraus

ˆ iC = C ω ˆusin(ωt + π∕2) = isin(ωt + π∕2 )

(6.3.3)

Zeiger:

Mit dem Spannungszeiger U_C als Bezugszeiger weist der Stromzeiger I_C in die Richtung der positiven imaginären Achse.

IC = C dU-C-= C -d UCejωt = jωCU--C dt dt

(6.3.4)

→ Der Strom I_C eilt der Spannung U_C um 90∘ voraus. In der Zeigerdarstellung entspricht dieses einer Multiplikation mit j.

Leitwert:

Wir führen die kapazive Admittanz mit dem kapazitiven Blindleitwert ein (analog zu I = GU)

IC = Y-CU-C = jBC U-C = jωCU--C (6.3.5)

mit Betrag und Phasenwinkel

∘ Y-C = jBC = jωC = (|BC |⁄ 90 )

(6.3.6)

Widerstand:

Wir erhalten dann die kapazitive Impedanz mit dem kapazitiven Blindwiderstand (analog zu U = RI)

U-C = ZC IC -1--- j- = jBC IC ⋅ j 1 = − j---IC ωC = jXC IC (6.3.7)

mit Betrag und Phasenwinkel

-1-- ⁄ ∘ ZC = jXC = − jωC = (|XC | − 90 )

(6.3.8)

Kehrwerte:

Damit erhalten wir für den kapazitiven Blindwiderstand und den kapazitiven Blindleitwert³ (analog zu R = 1∕G)

1 1 XC = − ----= − ---- BC ωC

(6.3.9)

Frequenz:

Blindwiderstand X_C und Blindleitwert B_C sind eine Funktion der Kreisfrequenz ω (siehe Abb. 6.3.2) . Dies ist in der Energietechnik nicht von Bedeutung, wohl aber in der Nachrichten- und Regelungstechnik⁴.

Abbildung 6.3.2: Phasenwinkel und Frequenzgang des kapazitiven Blindleitwerts und Blindwiderstands

→ Der Leitwert wächst proportional zur Kreisfrequenz von Null an. Der Widerstand geht von sehr großen negativen Werten aus gegen Null.

→ Die Phasenwinkel φ_B und φ_X zwischen Strom und Spannung sind konstant, d.h. keine Funktion der Kreisfrequenz.

6.3.1 Kapazitive Blindleistung

Leistung:

Jeweils nach 90∘ ist entweder i = 0 oder u = 0, so dass dann auch die Leistung Null wird. Der Verlauf der Leistungsschwingung ist in Abb. 6.3.3 dargestellt.

Abbildung 6.3.3: Kapazitive Blindleistung beim Kondensator

→ Definition der kapazitiven Blindleistung (X_C < 0) zu

2 2 QC = U I = U ∕XC = I XC < 0

(6.3.10)

Einheit:

Die Einheit der Blindleistung ist „Voltampere reaktive“ (Var), zur Unterscheidung von der Wirkleistung (Einheit Watt).

Schwingung:

Es entsteht eine Leistungsschwingung:

0 bis T/4: Der Kondensator wird vom Generator aufgeladen mit der Energie
$T∫ ∕4 T∫∕4 ∫ˆu W = u i dt = u C duC-dt = C u du = 1C ˆu2 C C C dt C C 2 0 0 0$ (6.3.11)
T/4 bis T/2: Der Kondensator entlädt die eben aufgenommene Energie in den Generator zurück.
T/2 bis 3T/4: Der Generator liefert die Energie bei umgekehrtem Vorzeichen von Strom und Spannung.
3T/4 bis T: Die Energie fließt wieder in den Generator zurück.

Wirkleistung:

Beim idealen Kondensator geht keine Energie als Wärme oder mechanische Energie verloren, sondern sie pendelt zwischen Generator und Kondensator hin und her.

→ Die Wirkleistung beim Kondensator ist damit

P = 0

(6.3.12)

²Dieses ist die Bauelementegleichung des Kondensators!

³Verständnisfrage: Welche Einheit haben B_C und X_C?

⁴Anwendung: Filter, besser Frequenzfilter, z.B. Hochpass, Tiefpass und Bandpass bei Lautsprecherweichen.

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