Widerstand

6.2 Widerstand

Strom:

Liegt an einem Widerstand (siehe Abb. 6.2.1) eine Wechselspannung u, so erhält man für den Strom den zeitabhängigen Wert¹

u- -ˆu ˆ i = R = Gu = R sin ωt = G ˆu sin ωt = isinωt

(6.2.1)

Abbildung 6.2.1: Wechselspannung und -strom am Widerstand

Zeiger:

Mit dem Spannungszeiger U_R als Bezugszeiger weist der Stromzeiger I_R in die selbe Richtung.

U- = RI-- R R

(6.2.2)

Bemerkung:

In dem Zeigerdiagramm in Abb. 6.2.1 sind U und I parallel zur reellen Achse. Auf eine komplexe Rechnung kann verzichtet werden, da keine Komponente in Richtung der imaginären Achse auftritt.
Die Gleichung für die Scheitelwerte $ˆu = R ⋅ˆi$ kann durch Division durch in eine Darstellung für die Effektivwerte bei Sinusgrößen U = u_eff = û∕ und I = i_eff = î∕ überführt werden
$u√ˆ-- √ˆi-- 2 = R ⋅ 2 U = RI$
Diese Darstellung ist vollkommen identisch zur Gleichstromtechnik. Es wird im folgenden auch für die anderen Bauelemente versucht, Darstellungen in der Wechselstromtechnik analog zur Gleichstromtechnik zu erhalten.

6.2.1 Leistung am Widerstand

Leistung:

Für den Zeitwert der Leistung p gilt

2 p = ui = i2R = u-- R

(6.2.3)

Da Spannung und Strom am Widerstand in Phase sind, nimmt die Leistung am Widerstand entsprechend Abb. 6.2.2 periodisch von Null (Spannung und Strom sind Null) bis zu einem Maximalwert (Spannung und Strom sind maximal) zu.

Abbildung 6.2.2: Leistung am Widerstand

Mittelwert:

Anstelle der periodischen Wirkleistung lässt sich eine mittlere Leistung P = p definieren, die während der Periodendauer T dieselbe Energie W umsetzt, wie die schwingende Leistung p(t)

T∫ T∫ 2 ˆ 2 W = P T = ˆpsin ωtdt = ˆui sin ωt dt 0 0◟---◝◜----◞ T∕(√2⋅√2)

(6.2.4)

mit sin²(x) = 1∕2 ⋅ (1 − cos(x)) und ∫₀^Tcos(x)dx = 0. Siehe Definition des Effektivwertes nach Gln. 4.3.18.

Mit dem ohmschen Gesetz für Scheitelwerte û = Rî bzw. î = û∕R erhalten wir die mittlere Leistung zu

2 W-- U-- 2 P = T = U I = R = I R

(6.2.5)

Wirkleistung:

Die Wirkleistung ist das Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung.

→ Die Einheit ist entsprechend der Einführung in der Gleichstromlehre das Watt (W); die Einheit der Energie die Wattsekunde (W s).

¹Dieses ist die Bauelementegleichung des Widerstandes!

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