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A.7 Übungsaufgaben zur Informationskodierung

Lösung zur
Aufgabe 7.4.1
(Kodebäume)

  1. Kodebäume in Abb. A.7.1

    PIC

    Abbildung A.7.1: Kodebäume für die vier Kodes
  2. Dekodierbar:
    • Kode C1 ist nicht dekodierbar
    • Kode C2 ist dekodierbar
    • Kode C3 ist dekodierbar
    • Kode C4 ist dekodierbar
  3. Unterteilung:
    • Kode C1 —
    • Kode C2 ist ein Blockkode
    • Kode C3 ist ein Präfixkode
    • Kode C4 —

Lösung zur
Aufgabe 7.4.2
(Huffman)

Kode in Abb. A.7.2

Xp(xi)c(xi)
B 0,10 111
A 0,13 110
C 0,16 10
E 0,24 01
D 0,37 00
PIC

Abbildung A.7.2: Optimaler binärer präfixfreier Huffma-Kode

Kodewortlänge

L(c) = 2,23bit (A.7.1)

Lösung zur
Aufgabe 7.4.3
(Kodierung)

  1. 10 Symbole
  2. 2 Symbole
  3. Anzahl gültiger Kodewörter
    ( 5 ) 5! 5 ⋅ 4 = ----------= ----= 10- 2 (5 − 2)!2! 2 ⋅ 1

  4. Wortlänge ist 5
  5. Kode ist dekodierbar
  6. Quellenentropie
    ∑ H (X ) = − P (xi) ld P (xi) = − 10 ⋅ 0,1 ⋅ ld 0,1 i = 3,322Bit-∕Symbol- (A.7.2) -----------------
  7. Ausgangsentropie
    ∑ H (Y ) = − P(yi)ldP (yi) = − 0,4 ⋅ ld0,4 − 0,6 ⋅ ld 0,6 i = 0,971Bit-∕Symbol- (A.7.3)
  8. Redundanzdes Kodes ist 2.

Lösung zur
Aufgabe 7.4.4
(Hamming-Distanz)

  1. Anzahl gültiger Kodewörter
    ( ) 7 ----7!---- n = 4 = (7 − 4)!4! = 35

  2. Hamming-Distanz h = 4
  3. h − 1 = 3 Fehler erkennbar
  4. (h − 1)∕2 = 3∕2 = 1 Fehler korrigierbar
  5. Verfälschungen
    1. x4,1 = 1100010: Fehler wird erkannt
    2. x4,2 = 1001110: Fehler wird nicht erkannt
    3. x4,3 = 0111101: Fehler wird erkannt und kann korrigiert werden

Lösung zur
Aufgabe 7.4.5
(Gray-Kode)

  1. Darstellung des Binärkodes in Abb. A.7.3

    PIC

    Abbildung A.7.3: Tableau-Darstellung Binär Kode

    Darstellung des Gray-Kode 1 in Abb. A.7.4

    PIC

    Abbildung A.7.4: Tableau-Darstellung Gray Kode 1

    Darstellung des Gray-Kode 2 in Abb. A.7.5

    PIC

    Abbildung A.7.5: Tableau-Darstellung Gray Kode 2
  2. Hammingdistanz d = 1
  3. Viele 1-Bit-Fehler führen zu einem linear benachbarten Zeichen oder einem ungültigen Kodewort

Lösung zur
Aufgabe 7.4.6
(Verwürfler)

  1. Polynomdivision

    −1 − 3 − 4 −6 −7 (1+x +x +x )∕ (1 + x +x )= -1+x-−6+x-−-7------------------ 1 x−1+x − 3+ x−4 + x−6 + x−7 x−1+x − 7+ x−8 x− 1 ------−-3---−4----−6----−8- x− +3 x−9 + x−10+ x − 3 x--+--x---+x---------------------- x x−4 + x−6 + x−8 + x−9 +x −10 x−4 +x −10+x −11 x− 4 -------x−6-+-x−8 +-x−9-+x-−11 −6 −12 −13 − 6 -x---+x-−8+x--−9----−11---−12---−13x x + x +x +x +x
  2. Schieberegisteranordnung in Abb. A.7.6

    PIC

    Abbildung A.7.6: Verwürfler und Entwürfler für das CCITT Polynom

Lösung zur
Aufgabe 7.4.7
(PCM-Signal)

  1. Abtastrate
    TA = 0,125ms--
  2. Abtastzeitpunkte und analoge Amplituden in Abb. A.7.7

    PIC

    Abbildung A.7.7: Analoges Signal zur PCM-Kodierung
  3. Quantisierten Werte in Tab. A.1
    n
    1
    2
    3
    4
    5
    6
     
    t/ms
    0,000
    0,125
    0,250
    0,375
    0,500
    0,625
     
    u/V
    0
    4
    9
    6
    10
    14
     
    Binär 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
     
    AMI 0 0 0 0 0+1 0 0 -1 0 0+1 0 -1+1 0-1 0 +1 0-1+1 -1 0
     
    RDS 0 0 0 0 0 +1 +1 +1 0 0 0 +1 +1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0 +1 0 0
     
    HDB3 0 0 0-V 0+1 0 0 -1 0 0+1 0 -1+1 0-1 0 +1 0-1+1 -1 0
     
    RDS 0 0 0 -1 -1 0 0 0 -1 -1 0 0 0 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 0 -1 -1
     
    n
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    t/ms
    0,750
    0,875
    1,000
    1,125
    1,250
    1,375
    1,500
    u/V
    15
    15
    13
    2
    0
    0
    1
    Binär 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
    AMI+1-1+1 -1+1 -1+1 -1+1-1 0+1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 000 0+1
    RDS +1 0 +1 0 +1 0 +1 0 +1 0 0 +1 +1 +1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +1
    HDB3+1-1+1 -1+1 -1+1 -1+1-1 0+1 0 0 -1+A 0 0+V-A 0 0-V+A00+V -1
    RDS 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 +1 0 0 0 -1 0 0 0 +1 0

    Tabelle A.1: PCM-Kodierung eines analogen Signals

    Mittelwert des binären Signals

    M1 = 0,44231--
  4. Übertragungsrate des Signals
    R = 32-000Bit∕s- ------------
  5. Absoluter Quantisierungsfehler
    E = 0,5V Qabs
    Relativer Quantisierungsfehler bei kleinen Amplituden
    EQrel = 0,5V- = 50%-- 1,0V -----
    und bei großen Amplituden
    0,5V EQrel = ----- = 3,3%- 15V
  6. AMI-Kode in Tab. A.1

    Mittelwert dieses Signals

    M2 = 0,01923--
  7. HDB3-Kode in Tab. A.1

    Mittelwert dieses Signals

    M3 = 0-

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