6.4 Übungsaufgaben

Aufgabe 6.4.1
(Karten)
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Gegeben sei ein Skatkartenspiel mit 32 Karten von denen 4 eine Dame sind.

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, 1 Dame aus 32 Karten zu ziehen!
2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, zuerst 1 Dame aus 32 Karten und dann noch 1 Dame aus den restlichen 31 Karten zu ziehen!
3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, zuerst 1 Dame aus 32 Karten und dann noch 1 Dame aus 32 Karten zu ziehen, wenn die erste Karte also zurückgelegt wird!
4. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Dame aus 31 Karten zu ziehen, wenn vorher 1 beliebige Karte weggelegt wurde?
5. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dame übrigbleibt, wenn vorher 31 beliebige Karte weggelegt wurden?

Aufgabe 6.4.2
(Lotto)
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Die Definition des Informationsgehalts hat die folgende, intuitiv einleuchtende, Eigenschaft, dass seltene bzw. unwahrscheinliche Ereignisse viel Information tragen.

Berechnen Sie den Informationsgehalt folgender Aussagen:

1. Ich habe im Zahlenlotto 6 aus 49 ohne Superzahl 6 Richtige. Wie kann man dieses Ergebnis anschaulich interpretieren?
2. Ich habe im Zahlenlotto 6 aus 49 ohne Superzahl 3 Richtige.
3. Ich habe im Zahlenlotto 6 aus 49 ohne Superzahl keine 6 Richtige.
4. Ist der Informationsgehalt der Aussage
   • „Ich habe keine 3 Richtige“ identisch zur Aussage
   • „Ich habe maximal 2 Richtige“?

Aufgabe 6.4.3
(Binäre Entropie)
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Gegeben sei ein Zufallsexperiment X mit lediglich zwei mögliche Werten x₁ und x₂ mit den Wahrscheinlichkeiten p₁ = p(x₁) und p₂ = (1 − p₁) .

Berechnen Sie die Entropie H(X) der binären Quelle für die Wahrscheinlichkeiten p₁ = n⋅0,1 für n = 1… 5 und konstruieren Sie aus den Werten den Verlauf der binären Entropiefunktion H(p)!

Aufgabe 6.4.4
(Entropie)
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Ein Kanal mit der Fehlerwahrscheinlichkeit p_e = 0,2 verbindet die binären Quelle X = {0,1} mit den Wahrscheinlichkeiten p_x0 = 0,1 und p_x1 = 0,9 mit der binären Quelle Y = {0,1}.

1. Berechnen Sie die bedingte Entropie H(Y |X), die durchschnittliche Ungewissheit über das Symbol Y, falls X bekannt ist.
2. Berechnen Sie die Transinformation H(Y ; X) zwischen X und Y, die Information des Sendesymbols X über das empfangene Symbol Y.
3. Vergleichen Sie den berechneten Wert H(Y ; X) mit den in der Vorlesung im Beispiel berechneten Wert H(X; Y ). Was kann man daraus schließen?