Übungsaufgaben zum Schalten

Lösung zur
Aufgabe 19.11.1
(Schalten)

Zeitlicher Verlauf des in der Spule fließenden Stromes
$i(t) = ie + if0 ⋅ e−t∕τ − t∕5ms = 2A--−-2A-⋅ e----- = 2A ⋅ (1 − e−t∕5ms) (B.3.1)$
$t50 = − 5ms ⋅ ln 0,5 = 3,47ms (B.3.2) -------$
Zeitliche Verlauf der an der Spule liegenden Spannung
$di uL = L ⋅ dt 2A = 0,1H ⋅-------⋅ ⋅e−t∕5ms 0,005s = 40V--⋅ e−t∕5ms (B.3.3) -------------$

Lösung zur
Aufgabe 19.11.2
(Schalten)

Zeitlicher Verlauf der an der Spule liegenden Spannung

uL(t) = − R2 ⋅ i(t) −t∕10μs = − 60Ω ⋅ 0,2A ⋅ e = −-12V--⋅ e−t∕10μs (B.3.4)

Lösung zur
Aufgabe 19.11.3
(Schalten)

Gesuchter Strom

i(t) = i + i ⋅ e−t∕τ e f0 − t∕2,5ms = 0,75A--−-0,25A-⋅ e------- −t∕2,5ms = 0,5A + 0,25A ⋅ (1 − e ) (B.3.5)

dargestellt in folgender Grafik

Lösung zur
Aufgabe 19.11.4
(Schalten)

Gesuchte Spannung
$− t∕τ uC (t) = ue + uf0 ⋅ e = 100V-−--180V-⋅-e−t∕1ms- ---------------------- = − 80V + 180V ⋅ (1 − e−t∕1ms ) (B.3.6)$
Zeitlicher Verlauf des Ladestromes
$i = U-−--uC- R1 100V − [100V − 180V ⋅ e− t∕1ms] = ------------------------------- − t∕11mks Ω = 0,180A-⋅ e------ (B.3.7)$

Spannungs- und Stromverlauf sind in folgender Grafik dargestellt

Lösung zur
Aufgabe 19.11.5
(Schalten)

Gesuchte Spannung
$−t∕τ uC (t) = ue + uf0 ⋅ e = 80V--−-80V-⋅-e−t∕4ms- −t∕4ms = 80V ⋅ (1 − e ) (B.3.8)$
Zeitlicher Verlauf des Ladestromes
$i = Uq-−-uC- Ri 80V − [80V − 80V ⋅ e−t∕4ms ] = ---------------------------- 4k Ω = 20mA--⋅ e−t∕4ms (B.3.9)$
Zeit t₉₉
$t99 = − 4ms ⋅ ln0,01 = 18,42ms (B.3.10) ---------$

Lösung zur
Aufgabe 19.11.6
(Schalten)

Gesuchte Spannung

uC (t) = ue + uf0 ⋅ e−t∕τ = 80V + 20V ⋅ e− t∕4ms -------------------- = 100V − 20V ⋅ (1 − e−t∕4ms) (B.3.11)

Lösung zur
Aufgabe 19.11.7
(Schalten)

Mit dem Kondensator

C = L---= --1H---- = 16,0μF-- X2C (250Ω )2 --------

(B.3.14)

Lösung zur
Aufgabe 19.11.8
(Schalten)

Schalter im positiven Spannungsmaximum geschlossen
$i(t) = ie(t) + if(t) = uˆ-sin(ωt) -XL--------$ (B.3.15)
Schalter im positiven Spannungs-Nulldurchgang geschlossen
$i(t) = ie(t) + if(t) = ˆie[1 + sin(ωt − 90∘)] --------------------$ (B.3.16)
Die ermittelten Funktionen i = f(t) sind grafisch dargestellt. Der Schaltaugenblick entspricht dem Zeitpunkt t = 0. Die Amplituden sind auf die Scheitelwerte normiert.

Spannungs-Maxima

Spannungs-Nulldurchgang

Lösung zur
Aufgabe 19.11.9
(Schalten)

Zeitlicher Verlauf des Stromes
$i(t) = ie(t) + if(t) = 0,6A ⋅ sin(ωt + 11,9∘) − 0,12A ⋅ e−t∕0,25ms ---------------------------------------- (B.3.17)$
mit dem Schaltzeitpunkt t = 0 und der Spannung
$u(t) = ˆusin(ωt + 50∘) (B.3.18)$
Nach dem Schließen des Schalters kein Ausgleichsstrom
$′ ∘ φ u = 38,1--$ (B.3.19)
Die graphische Darstellung der Ergebnisse ist

φ_u = 50^∘

φ_u = 38,1^∘

Lösung zur
Aufgabe 19.11.10
(Schalten)

Zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannungzu

u(t) = u (t) + u (t) e f ∘ −t∕90μs = 69,64V--⋅ sin-(ωt +-15,9-)-+-41,39V-⋅ e----- (B.3.20)

mit dem Schaltzeitpunkt t = 0 und der Spannung

∘ u(t) = ˆusin(ωt + 45 ) (B.3.21)

Die graphische Darstellung der Ergebnisse ist

Lösung zur
Aufgabe 19.11.11
(Schalten)

Gesuchte Zeitfunktion

[ ] i (t) = ------250V------ ⋅ e−t∕1,69ms − e−t∕0,71ms C 2 ⋅ 408s −1 ⋅ 0,3H [ − t∕1,69ms −t∕0,71ms] = 1,02A-⋅-e---------−-e--------- (B.3.22)

Das Ergebnis ist grafisch dargestellt, wobei der Schaltzeitpunkt dem Zeitpunkt t = 0 entspricht.

Lösung zur
Aufgabe 19.11.12
(Schalten)

Gesuchte Zeitfunktion

uC (t) = 200,16V − 100,16V e−t∕4ms ⋅ sin(4,465ms −1 ⋅ t + 86,79 ∘) ◟------------◝◜−-1-----∘----◞ --------------------------------cos(4,465ms--⋅t−-3,21)----- (B.3.23)

Das Ergebnis ist grafisch dargestellt, wobei der Schaltzeitpunkt dem Zeitpunkt t = 0 entspricht.

Lösung zur
Aufgabe 19.11.13
(Schalten)

Gesuchter Widerstand
$2 -R-- = -1-- 4L2 LC 2 4L2- R = LC ∘ --- R = 2 L- C ∘ ------------ = 2 --0,01H----0 = 632,5Ω (B.3.24) 0,1 ⋅ 10 −6F -------$
Zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung
$1 4L2 −δt uC (t) = U ⋅---- ⋅--2-⋅[1 + (− δt − 1)e ] L◟C--◝◜R--◞ =1 = 120V--⋅ [1-−-(31,625ms-⋅ t +-1)e-−t∕31,6μs] -------------------------------------- (B.3.25)$

Das Ergebnis ist grafisch dargestellt, wobei der Schaltzeitpunkt dem Zeitpunkt t = 0 entspricht.

Lösung zur
Aufgabe 19.11.14
(Schalten)

Stationärer (eingeschwungenen) Anteil

u (t) = 322,5V ⋅ cos(3,14ms −1 ⋅ t − 3,63∘) (B.3.26) e ---------------------------------

Transienter (flüchtigen) Anteil

uf(t) = −-340,00V-⋅-e−t∕1ms-cos(3ms-−1 ⋅-t −-18,78∘) ----------------------------------------- (B.3.27)

Das Ergebnis

uC (t) = ue(t)-+-uf(t) -------------

(B.3.28)

ist grafisch dargestellt, wobei der Schaltzeitpunkt dem Zeitpunkt t = 0 entspricht.