Übungsaufgaben zu Ortskurven

Lösung zur
Aufgabe 17.8.1
(Ortskurve)

Die Ortskurve der Impedanz für p = 0…10 mit L₀ = 1mH ergibt eine Gerade mit

G- = A-+ pB- = R + pjωL0 = 60Ω + pj6,28Ω (B.1.1)

Skalierung der Achsen:

Z-(p = 0) = 60 Ω + j0Ω Z-(p = 10) = 60 Ω + j62,8Ω (B.1.2)

entsprechend eine (quadratische) Skalierung von

− 10Ω ≤ x ≤ 70 Ω 70Ω ≤ y ≤ − 10Ω (B.1.3)

Die Ortskurve ist mit dem Parameter p beziffert.

Lösung zur
Aufgabe 17.8.2
(Ortskurve)

Die Ortskurve der Admittanz für p = 10…100 bzw. p′ = 1∕p = 0,1…0,01 mit L₀ = 1mH ergibt eine Gerade mit

1 1 G-= A-+ p′B- = --− p′j---- R ωLp = 8mS − pj159mS (B.1.4)

Skalierung der Achsen:

Y(p′ = 0,01) = 8mS − j1,59mS ′ Y-(p = 1) = 8mS − j15,9mS (B.1.5)

entsprechend eine (quadratische) Skalierung von

0mS ≤ x ≤ 20mS − 20mS ≤ y ≤ 0mS (B.1.6)

Die Ortskurve ist links linear mit dem Parameter p′ und rechts nichtlinear mit dem Parameter p beziffert.

Lösung zur
Aufgabe 17.8.3
(Ortskurve)

Die Ortskurve des Gesamtstromes (U = Bezugsgröße (= reell)) für p = 0,8…10 bzw. p′ = 1∕p = 1,25…0,1 mit R₀ = 100Ω ergibt eine Gerade mit

G- = A-+ p ′B- = − j U--+ p′ U- XC Rp = j0,5A + p′1A (B.1.7)

Skalierung der Achsen:

I(p′ = 0,1 ) = 0,1A + j0,5A ′ I(p = 1,25 ) = 1,25A + j0,5A (B.1.8)

entsprechend eine (quadratische) Skalierung von

0A ≤ x ≤ 1,5A 0A ≤ y ≤ 1A (B.1.9)

Die Ortskurve ist unten linear mit dem Parameter p′ und oben nichtlinear mit dem Parameter p beziffert.

Lösung zur
Aufgabe 17.8.4
(Ortskurve)

Die Ortskurve der Impedanz für p = 0…3 mit R₀ = 100Ω ergibt eine Gerade mit
$G-= A-+ pB- = jXL + pR0 = j100Ω + p100Ω (B.1.10)$
Skalierung der Achsen:
$Z-(p = 0) = 0Ω + j100Ω Z (p = 3) = 300Ω + j100 Ω (B.1.11) --$
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
$− 10Ω ≤ x ≤ 320Ω − 10Ω ≤ y ≤ 120Ω (B.1.12)$
Die Ortskurve wird zum Schluss mit dem Parameter p beziffert.
Die Ortskurve der Admittanz für p = 0…3
$Y-(p) = --1--= 1-= ---1---- Z-(p ) G- A-+ pB-$ (B.1.13)

ergibt als Inversion einer Geraden einen Kreis durch den Nullpunkt.
1. Wahl der Achsen
  $0Ω ≤ x ≤ 300 Ω − 300 Ω ≤ y ≤ 0Ω (B.1.14 )$
2. Zeichnen der gespiegelten Nennergerade
  $∗ G- = − j100Ω + p ⋅ 100Ω$ (B.1.15)
3. Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die Y-Achse.
4. Berechnen des Abstandes
  $1 1 AK = -- = ----- = 10mS A 100 Ω$ (B.1.16)
  
  Maßstab wählen zu 50Ω=2mS. Zeichnen der Senkrechten auf A^∗ im Abstand A_K∕2 = 5mS .
5. Zeichnen des Kreises.
6. Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G^∗ indem vom Nullpunkt des Koordinatensystems aus Geraden durch die bekannten Parameterwerte der gespiegelten Nennergeraden gezeichnet werden. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Kreis der gesuchten Ortskurve erhalten die entsprechenden Parameterwerte der gespiegelten Nennergeraden.

Lösung zur
Aufgabe 17.8.5
(Ortskurve)

Die Ortskurve der Impedanz für p = 1…10 bzw. p′ = 1∕p = 1,0…0,1 mit f₀ = 1kHz ergibt eine Gerade der Form
$′ ′ --1---- G- = A-+ p B- = R − p j2πf0C ′ = 50 Ω − p j106,1Ω (B.1.17)$

Skalierung der Achsen:
$′ Z-(p = 0,1 ) = 50Ω − j10,6 Ω Z-(p′ = 1 ) = 50Ω − j106Ω (B.1.18)$
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
$0Ω ≤ x ≤ 100 Ω − 110 Ω ≤ y ≤ 0Ω (B.1.19)$

Die Ortskurve ist mit dem Parameter p beziffert.

Die Ortskurve der Admittanz für p = 1…10

Y-(p) = --1--= 1-= ---1---- Z-(p ) G- A-+ pB-

(B.1.20)

ergibt als Inversion einer Geraden einen Kreis durch den Nullpunkt.

Wahl der Achsen
$0Ω ≤ x ≤ 120 Ω 0Ω ≤ y ≤ 120 Ω (B.1.21 )$
Zeichnen der gespiegelten Nennergerade
$G-∗ = 50Ω + p ⋅ j106,1Ω$ (B.1.22)
Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die X-Achse.
Berechnen des Abstandes
$1- -1-- AK = A = 50Ω = 20mS$ (B.1.23)

Maßstab wählen zu 30Ω=5mS. Zeichnen der Senkrechten auf A^∗ im Abstand A_K∕2 = 10mS.
Zeichnen des Kreises.
Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p bzw. p’ entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G^∗.

Lösung zur
Aufgabe 17.8.6
(Ortskurve)

Die Ortskurve der Impedanz für p = 0…3

Z-(p) = Z1 + Z2 (p)

(B.1.24)

entspricht der Ortskurve der Impedanz für Z₂(p), die relativ zum Koordinatenursprung um den Vektor

Z- = R − j-1-- = 25Ω − j31,8Ω (B.1.25) 1 1 ωC1

verschoben ist. Ortskurve der Impedanz für p = 0…3 mit C_2₀ = 1μF als Inversion einer Geraden

G-= A-+ pB- = -1-+ pjωC R2 20 = 8mS + pj3,14mS (B.1.26)

Skalierung der Achsen:
$∗ Y-2(p = 0) = 8mS + j0mS Y-∗2(p = 3) = 8mS − j9,4mS (B.1.27)$
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
$0mS ≤ x ≤ 10mS − 10mS ≤ y ≤ 0mS (B.1.28)$
Zeichnen der gespiegelten Nennergerade
$G-∗ = 8mS − pj3,14mS$ (B.1.29)
Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die X-Achse.
Berechnen des Abstandes
$A = 1-= -1---= 125Ω K A 8mS$ (B.1.30)

Maßstab wählen zu 5mS=50Ω. Senkrechte auf A^∗ im Abstand A_K∕2 = 62,5Ω.
Zeichnen des Kreises.
Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G^∗.
Verschiebung der Ortskurve um Z₁ erfolgt grafisch durch Verschieben des Koordinatenursprungs um
$− Z = − 25 Ω + j31,8Ω (B.1.31) -1$

Lösung zur
Aufgabe 17.8.7
(Ortskurve)

Die Ortskurve der Impedanz für p = 0…2,5
$Z-(p) = Z1 + (Z2||ZC (p))$ (B.1.32)

entspricht der Ortskurve der Impedanz für Z₂(p), die relativ zum Koordinatenursprung um den Vektor
$Z1 = R1 + jωL1 = 100Ω + j80 Ω (B.1.33)$
verschoben ist. Ortskurve der Impedanz für p = 0…2,5 mit C₀ = 1μF als Inversion einer Geraden
$1 G-= A-+ pB- = -----------+ pjωC0 R2 + jωL2 = 5mS − j5mS + pj6,28mS (B.1.34)$
1. Skalierung der Achsen:
  $∗ Y-3(p = 0) = 5mS + j5mS Y-∗3(p = 3) = 5mS − j10,7mS (B.1.35 )$
  entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
  $− 5mS ≤ x ≤ 20mS − 15mS ≤ y ≤ 10mS (B.1.36 )$
2. Zeichnen der gespiegelten Nennergeraden
  $∗ G- = (5mS + j5mS ) + p(− j6,28mS )$ (B.1.37)
3. Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die X-Achse.
4. Berechnen des Abstandes
  $AK = -1 = -----1-√--- A 5mS ⋅ 2 √ -- = 100Ω ⋅ 2 = 141Ω (B.1.38 )$
  Maßstab wählen zu 5mS=50Ω. Zeichnen der Senkrechten auf A^∗ im Abstand A_K∕2 = 50Ω. Schnittpunkt mit der x-Achse zu
  $√ -- √ --√ -- rK = (AK ∕2 ) ⋅ 2 = 50Ω ⋅ 2 ⋅ 2 = 100 Ω$ (B.1.39)
5. Zeichnen des Kreises.
6. Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G^∗.
7. Die Verschiebung der Ortskurve um Z₁ erfolgt grafisch durch Verschieben des Koordinatenursprungs um
  $− Z1 = − 100Ω − j80Ω (B.1.40 )$
C-Werte, bei denen die Impedanz Z reell ist:
$C1 = 1,2 ⋅ 1μF = 1,2μF- C2 = 2,4 ⋅ 1μF = 2,4μF- (B.1.41) ------$

Lösung zur
Aufgabe 17.8.8
(Ortskurve)

Die Ortskurve der Admittanz für p = 0…10
$Y-(p) = Y2 + Y-1(p)$ (B.1.42)

entspricht der Ortskurve der Admittanz für Y ₁(p), die relativ zum Koordinatenursprung um den Vektor
$Y2 = -1- + jωC = 20mS + j30,0mS (B.1.43) R2$
verschoben ist. Ortskurve der Admittanz für p = 0…10 mit R_1₀ = 10Ω als Inversion einer Geraden
$G- = A-+ pB-- = jωL + pR10 = j25,0Ω + p10 Ω (B.1.44)$
1. Skalierung der Achsen:
  $∗ Z-1(p = 0) = 0Ω − j25Ω Z-∗1(p = 10) = 100 Ω − j25Ω (B.1.45 )$
  entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
  $− 10Ω ≤ x ≤ 110 Ω − 110 Ω ≤ y ≤ 10 Ω (B.1.46 )$
2. Zeichnen der gespiegelten Nennergeraden
  $∗ G- = − j25,0Ω + p10 Ω$ (B.1.47)
3. Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die Y-Achse.
4. Berechnen des Abstandes
  $1 1 Ak = --= ------= 40mS A 25,0Ω$ (B.1.48)
  
  Maßstab wählen für den Kreis zu 30Ω = 10mS. Senkrechte auf A^∗ im Abstand A_K∕2 = 20mS.
5. Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G^∗.
Die Verschiebung der Ortskurve um Y ₂ erfolgt grafisch durch Verschieben des Koordinatenursprungs um
$− Y-2 = 20mS + j30,0mS$ (B.1.49)
Widerstand, bei dem Y reell ist
$R ′= 1,4 ⋅ 10Ω = 14Ω- 1 ----$ (B.1.50)

Der Gesamtwiderstand der Schaltung

1- Z-= Y-

(B.1.51)

ist dann am Geringsten, wenn der Leitwert am Größten ist. Fassen wir die Admittanz der Schaltung als Addition zweier Leitwerte auf

Y- = Y-0,Mp + Y-Mp,Kr

(B.1.52)

von denen der erste vom Nullpunkt des Koordinatenursprungs zum Mittelpunkt des Kreises der Ortskurve geht und der zweite vom diesem Mittelpunkt auf den Kreisbogen der Ortskurve, so erhalten wir das Maximum in der Verlängerung des ersten Vektors

R′′= 4 ⋅ 10Ω = 40Ω- 1 ----

(B.1.53)

Lösung zur
Aufgabe 17.8.9
(Ortskurve)

Die Ortskurve des Stromes für p = 0…4 mit L₀ = 10mH

I(p) = U ⋅ Y-(p) = 100V ⋅ Y-(p)

(B.1.54)

ist identisch zur Ortskurve der Admittanz für p = 0…4

1 1 1 Y-(p) = -----= --= -------- Z-(p ) G- A-+ pB-

(B.1.55)

da nur der Maßstabsfaktor der Achsen sich ändert. Aus Y = 1mS wird I = 100V ⋅ 1mS = 0,1A. Ortskurve der Attmittanz als Inversion einer Geraden

1 G-= A- + pB- = R1 + ----------+ pjωL0 G2 + jωC = 80,0Ω − j80,0Ω + pj50,3Ω (B.1.56)

Skalierung der Achsen:
$∗ Z-(p = 0 ) = 80,0Ω + j80,0Ω Z-∗(p = 4 ) = 80,0Ω − j121,2 Ω (B.1.57 )$
Quadratische Skalierung:
$0Ω ≤ x ≤ 240 Ω − 120 Ω ≤ y ≤ 120 Ω (B.1.58 )$

Zeichnen der gespiegelten Nennergeraden

∗ G- = 80,0 Ω + j80,0Ω − pj50,3 Ω

(B.1.59)

Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die X-Achse.
Berechnen des Abstandes
$1 1 Ak = -- = ----√---= 8,84mS A 80Ω 2$ (B.1.60)

Senkrechte auf A^∗ im Abstand A_K∕2 = 4,42mS. Berechnen des Kreisradius zu

$√ -- rK = (AK ∕2) ⋅ 2 = 1∕160 Ω = 6,25mS$ (B.1.61)

Maßstab wählen für den Kreis 20Ω = 10mS.
Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G^∗.

Aus der durch Skalierung der Achsen aus der Ortskurve Y (p) sich ergebende Ortskurve I(p) ergibt sich die Induktivität bei der Spannung U und Strom I in Phase sind zu

L = 1,6 ⋅ 10mH = 16mH---

(B.1.62)

Lösung zur
Aufgabe 17.8.10
(Ortskurve)

Der Verlauf der Ortskurve der Impedanz für p = 0,5…5 mit f₀ = 1kHz

Z(p) = Z1 (p) + Z2(p)

(B.1.63)

ergibt sich als graphische Addition der ersten Ortskurve, einer Geraden auf der imaginären Achse,

Z- (p) = G- = A- + pB-- 1 1 1 1 = pj20,0Ω (B.1.64)

Hier kann nicht einfach der Koordinatenursprung verschoben werden, sondern es muss eine Addition von je 2 Werten mit dem selben p-Wert erfolgen! Die zweite Ortskurve ist ein Kreis mit der Impedanz der Parallelschaltung

1 1 1 Z2(p) = ------ = --- = ---------- Y-2(p) G2 A2 + pB2

(B.1.65)

als Inversion einer Geraden

G2 = A2 + pB2 = 10mS + pj6,28mS (B.1.66)

Skalierung der Achsen für G₂:
$Y-∗2(p = 0,5) = 10,0mS − j3,14mS ∗ Y-2(p = 5) = 10,0mS − j31,4mS (B.1.67)$
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
$0mS ≤ x ≤ 40mS − 40mS ≤ y ≤ 0mS (B.1.68)$
Zeichnen der gespiegelten Nennergeraden
$G-∗ = 10mS − pj6,28mS 2$ (B.1.69)
Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die Y-Achse.

Berechnen des Abstandes

1 1 Ak = --= ------= 100Ω A 10mS

(B.1.70)

Maßstab wählen für den Kreis 10mS = 20Ohm. Senkrechte auf A^∗ im Abstand A_K∕2 = 50Ohm.

Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G^∗.
Skalierung der Achsen für G₁:
$Z1 (p = 0,5) = 0,0Ω + j10,0 Ω Z- (p = 5) = 0,0Ω + j100,0 Ω (B.1.71) 1$
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
$0Ω ≤ x ≤ 100 Ω 0Ω ≤ y ≤ 100 Ω (B.1.72)$
Zeichnen der Geraden
$G1 (p) = pj20,0Ω$ (B.1.73)

und mit dem Parameter p beziffern. Die punktweise Addition der beiden Ortskurven für gleiche Parameterwerte p ergibt die gesuchte Ortskurve der kompletten Schaltung.

Lösung zur
Aufgabe 17.8.11
(Ortskurve)

Die Ortskurve der Impedanz für p = 0…∞

Z(p) = Z1 + Z2(p))

(B.1.74)

entspricht der Ortskurve der Impedanz für Z₂(p), die relativ zum Koordinatenursprung um den Vektor

Z1 = R1 = 50Ω

(B.1.75)

verschoben ist. Als erstes wird daher die Ortskurve der Impedanz für p = 0…∞ mit f₀ = 1kHz

Z-(p) = -1 = -------1-------- 2 G- A-+ pB1 + 1pB2

(B.1.76)

als Inversion einer Geraden

1 G- = A-+ pB1 + -B2 p = -1-+ pj2 πf C − 1-⋅---j--) R2 0 p 2πf0L 1 = 10mS + pj6,28mS − -j1,59mS (B.1.77) p

Aufgrund der Proportionalität von Y ₂ zu p und zu 1∕p ergibt sich keine Skalierung, die aus einer linear geteilten Nennergeraden konstruiert werden kann. Für die ausgewählten Punkte erhalten wir

Z-(f = 0) = 50,0Ω Z-(f = ∞ ) = 50,0Ω Z-(f = f0) = 150,0Ω (B.1.78)

bei der Resonanzfrequenz

---1---- f0 = √ ----= 503,29Hz (B.1.79) 2π LC

Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die X-Achse. Berechnen des Abstand

Ak = 1-= --1--- = 100Ω A 10mS

(B.1.80)

Maßstab wählen für den Kreis 10mS = 20Ω. Senkrechte auf A^∗ im Abstand A_K = A_K∕2 = 50Ω.

Die Ortskurve ist mit Einheiten des Parameters p beziffert. Die Verschiebung der Ortskurve um R₁ kann grafisch durch Verschieben des Koordinatenursprungs um −R₁ erfolgen. Der neue Koordinatenursprung ist ebenfalls eingezeichnet.

B.1 Übungsaufgaben zu Ortskurven